* مختــــارات ( علم الرياضيات 1 ) فروع الرياضيات *

[أحمد سعد الدين]

مما لاشك فيه أن علم الحساب علم سابق على ظهور الإسلام، بل هو علم مغرق في القدم، حيث إن لفافات البردي ـ التي كشفت كيف كان المصريون القدماء يجرون عمليات الحساب ـ ترجع إلى ما قبل الميلاد بحوالي ألفي عام ..

كذلك عرف البابليون والإغريق والهنود المتواليات الحسابية وغيرها مما يتعلق بعلم الحساب.



أوائل علماء الحساب المسلمون:

فإذا ما جئنا إلى العصر الإسلامي وجدنا أن محمد بن موسى الخوارزمي كان أول من كتب في الحساب الهندي حوالي عام (825) م، ووضع كتابه في الجمع والتفريق، ثم جاء من بعده أبو منصور عبد القاهر بن طاهر البغدادي المتوفى عام (1037)م فسطر كتابه (التكملة) في الحساب.

ولعل مما بقي لنا من الكتب المذكورة في الحساب كتاب ( ما يحتاج إليه الكتاّب والعمال من صناعة الحساب) لأبي الوفاء البوزجاني وهو من علماء القرن العاشر الميلادي. وقد وضعه مؤلفه لموظفي الدولة ليعلمهم القواعد الصحيحة لإجراء العمليات الحسابية.

كما يذكر أنا أبا بكر بن الحسن الكرجي المتوفى عام 1019م ترك لنا كتاباً في الحساب هو (الكافي في الحساب) وقد شرح كتابه هذا محمد بن علي بن أحمد الشهرزوري في كتابه (الشرح الشافي لكتاب الكافي) وكذلك يذكر كتاب (الكافية) لأحمد بن علي بن عمر بن صالح الأربلي.



الحساب حسابان عند العرب:

ويقول الدكتور أحمد سعيد سليمان في بحثه (علم الحساب عند العرب) المنشور في مجلة عالم الفكر (المجلد الثاني العدد الأول 1971): وتدل المخطوطات على أن الموروث الحسابي الذي تناوله المسلمون ممن سبقهم قبل عهد الترجمة كان نظامين لا واحداً.

أحدهما: سماه العرب حساب المنجمين، لأنه كان يقتصر استعماله على الفلكيين، كما سموه حساب الزيح، وحساب الدرج والدقائق.

أما الآخر: فقد كان اسمه علم الحساب بدون تمييز. ولكن حيث يلزم التمييز يسمونه حساب اليد، أو الحساب الهوائي، أو حساب العقود، أو حساب الروم والعرب.



القرآن الكريم والحساب:

ولا شك أننا ونحن نتكلم عن علم الحساب نذكر جيداً كيف كان للقرآن الكريم دور كبير في توجيه النظر وبعث الهمم نحو معرفة هذا العلم والتوسع فيه، وذلك ابتداء مما يلزم الناس أجمعين من عد الليالي والسنين، يقول سبحانه: { وجعلنا الليل والنهار آيتين، فمحونا آيه الليل، وجعلنا آيه النهار مبصرة لتبتغوا فضلاً من ربكم، ولتعلموا عدد السنين والحساب ، وكل شيء فصلناه تفصيلاً }(الإسراء/12).

كما ذكرنا الله سبحانه في كتابه بمثال من الحساب حيث قال في حق من وجب علي فداء دم فلم يتمكن منه: { فمن لم يجد فصيام ثلاثة أيام في الحج وسبعة إذا رجعتم. تلك عشرة كاملة }(البقرة/196).



تعريف علم الحساب:

كما أننا لا بد وأن نعرج على تعريف علم الحساب بحسب ما قاله فيه العلماء من قبل.

قال صديق بن حسن القنوجي في (أبجد العلوم): علم الحساب هو علم بقواعد تعرف بها طرق استخراج المجهولات العددية من المعلومات العددية المخصوصة من الجمع والتفريق والتضعيف والضرب والقسمة. والمراد بالاستخراج معرفة كمياتها.

وقال: ومنفعته ضبط المعاملات وحفظ الأموال وقضاء الديون وقسمة المواريث والتركات وضبط ارتفاعات الممالك (أي خراجها) وغيُر ذلك. ويُحتاج إليه في العلوم الفلكية وفي المساحة والطب. وقيل: يحتاج إليه في جميع العلوم بالجملة، ولا يستغني عنه مَلِك ولا عالم ولا سوقة. وزاد شرفاً بقوله سبحانه وتعالى { وكفى بنا حاسبين }(الأنبياء/47) وبقوله تعالى { ولتعلموا عدد السنين والحساب }(الإسراء/12) وقوله تعالى{ فأسأل العادّين}(المؤمنون/113).

ولذلك ألف فيه الناس كثيراً، وتداولوه في الأمصار بالتعليم للولدان.

ومن أَحْسنِ التعليم عند الحكماء الابتداءُ به، لأنه معارفُ متضحة، وبراهينه منتظمه، فينشأ عنه في الغالب عقل مضيء يدل على الصواب. وقد يقال: إن من أخذ نفسه بتعلم الحساب أول أمره يغلب عليه الصدق لما في الحساب من صحة المباني ومنافسة النفس، فيصير له ذلك خلقاً ويتعود الصدق، ويلازمه مذهباً.



من مسائل علم الحساب:

ويشرح ابن خلدون في (المقدمة) العمليات الأولية الكلية للحساب، وهي الجمع والضرب والطرح والقسمة، فيقول عن علم الحساب: وهي صناعة عملية في حسبان الأعداد بالضم والتفريق.

فالضم يكون في الأعداد بالأفراد وهو الجمع، وبالتضعيف ـ أي يضاعف عدد بآحاد عدد آخر ـ وهذا هو الضرب. والتفريق يكون في الأعداد: بالإفراد، مثل إزالة عدد من عدد ومعرفة الباقي وهو الطرح. أو تفصيل عدد بأجزاء متساوية تكون عِدتّها محصِّلة وهو القسمة.

ثم يعرج ابن خلدون رحمه الله على تعريف الكسر فيقول: ومعنى الكسر: نسبة عدد إلى عدد، وتلك النسبة تسمى كسراً.

وشرح كلامه: أن نسبة الواحد إلى الأثنين هي النصف: فالنصف يسمى كسراً، وهكذا.

وقد عرف المسلمون التعامل بالكسور قديماً في جميع العلميات الحسابية، كما عرفوا ذلك بالنسبة للأعداد الصحيحة. يقول ابن خلدون: سواء كان هذا الضم ـ أي من جمع وضرب ـ أو التفريق ـ أي من طرح وقسمة ـ في الصحيح من العدد أو الكسر.

وتطول مسائل علم الحساب. ولا تخلوا من طرافة ودهشة. فلتنظر في مظانها ومواطنها.



السبق الإسلامي في علم الحساب:

ويشترك مع علم الحساب في كونه أحد العلوم العددية، علم تفرد المسلمون باختراعه لم يسبقوا إليه من قبل وكان اكتشافهم له فتحاً كبيراً في مضمار التطور. وهو علم (الجبر والمقابلة).

وقد عرفه القنّوجي بقوله: هو من فروع علم الحساب، لأنه علم يعرف به كيفية استخراج مجهولات عدديةٍ بمعادلتها لمعلومات مخصوصة على وجه مخصوص.

ومعنى الجبر: زيادة قدر ما نقص من الجملة المعادلة بالاستثناء في الجملة الأخرى لتتعادلا.

ومعنى المقابلة إسقاط الزائد من إحدى الجملتين للتعادل.

قال ابن خلدون: وأول من كتب في هذا الفن أبو عبد الله الخوارزمي، وبعده أبو كامل شجاع بن أسلم، وجاء الناس على أثره فيه، وكتابه في مسائله الست من أحسن الكتب الموضوعة فيه، وشرحه كثير من أهل الأندلس فأجادوا، ومن أحسن شروحاته كتاب القرشي.

وقال في (مدينة العلوم): ومن الكتب المختصرة فيه (نصاب الجبر) لابن خلوس المارديني ( والمفيد ) لابن المحلي الموصلي، ومن المتوسطة كتاب (الظفر) للطوسي، ومن المبسوطة (جامع الأصول) لابن المحلي.



علم المواريث والفرائض:

وإذا كان ضبط المعاملات وحفظ الحقوق وقضاء الديون أحد فوائد علم الحساب، فإن للمسلمين علماً خاصاً بهم يتعلق بعلم الحساب، لا يشاركهم فيه أحد سواهم، نبع من دينهم وصب في حياضهم. وهو علم حساب الفرائض والمواريث، وهو: معرفة فروض الوراثة، وتصحيح سهام الفريضة مما تصح باعتبار فروضها الأصول أو مناسختها.

وفي علم المواريث والفرائض تمتزج الأحكام الفقهية المستنبطة من الكتاب والسنة والقياس والإجماع بعلم الأعداد والكسور، وعمليات الضم والتفريق، والنظر في موافقة الأعداد للأصل ومخالفتها له.

وانظر على سبيل المثال كيف صرّفت الآيات حصص الورثة في مثل قوله سبحانه وتعالى: { يوصيكم الله في أولادكم للذكر مثل حظ الأنثيين * فإن كن نساء فوق اثنتين فلهن ثلثا ما ترك * وإن كانت واحدة فلها النصف * ولأبويه لكل منهما السدس مما ترك إن كان له ولد، فإن لم يكن له ولد وورثه أبواه فلأمه الثلث * فإن كان له إخوه فلأمه السدس... } إلى آخر الآية من سورة النساء (11)مع قريناتها من آيات أخر في نفس الموطن وغيره .. انظر إليها تجد أن عملية تقسيم التركات وبيان حقوق الورثة تعلقت بعلم الحساب تعلقاً واضحاً، وأحوجت المسلمين إلى وضع علم خاص بها.

يقول ابن خلدون عن علم الفرائض: وهي صناعة حسابية في تصحيح السهام لذوي الفروض في الوراثات إذا تعددت وهلك بعض الوارثين وانكسرت سهامه على ورثته، أو زادت الفروض عند اجتماعها وتزاحمها في المال كله ، أو كان في الفريضة إقرار أو إنكار من بعض الورثة دون بعض، فيُحتاج في ذلك كله إلى عمل يُعيّن به سهام الفريضة إلى كم تصح، وسهام الورثة من كل بطن مصححا،ً حتى تكون حظوظ الوارثين من المال على نسبة سهامهم من جملة سهام الفريضة. فيدخلُها من صناعة الحساب جزء كبير من صحيحه وكسوره وجذوره ومعلومه ومجهوله.. وهي من أجلّ العلوم.



كتب علم المواريث:

ولا يكاد يخلو كتاب من كتب الفقه في باب الفرائض والمواريث عن الإشارة إلى القواعد العامة لعلم حساب الفرائض ولعل بعض الفقهاء قد أفرد ذلك بالتأليف لأهميته.

يقول القنوجي: وللناس فيه تآليف كثيرة، أشهرها عند المالكية من متأخري الأندلس كتاب ابن كثير، ومختصر القاضي أبي القاسم الحوفيّ ثم الجعديّ. ومن متأخري أفريقية ابن النمر الطرابلسي وأمثالهم. وأما الشافعية والحنفية والحنابلة فلهم فيه تآليف كثيرة وأعمال عظمية شاهدة لهم باتساع الباع في الفقه والحساب.

وكيف لا يكون الأمر كذلك. وقد حض النبي صلى الله عليه وسلم على حفظ الفرائض وتعلمها وتعليمها بقوله: " تعلموا الفرائض وعلموها الناس فإنها أول علم ينسى وقال : وهي نصف العلم "(رواه الحاكم وابن ماجه عن أبي هريرة).

[أحمد سعد الدين]

الهندسة




الهندسة فرع من الرياضيات يعنى بدراسة هيئات وأحجام ومواضع الأشكال الهندسية. في الصورة يقوم المدرّس بشرح تمرين لطلبة إحدى المدارس بمدينة الرياض، المملكة العربية السعودية.
الهندسة فرع من الرياضيات ُيعنى بدراسة هيئات وأحجام ومواضع الأشكال الهندسية. وهذه الأشكال تشمل الأشكال المستوية كالمثلثات والمستطيلات والأشكال المجسَّمة (ثلاثية البعد مثل المكعبات والكرات).

وقد تضمَنت الاستخدامات الأولى للهندسة قياس أطوال ومساحات الأراضي. ويعتقد معظم الدارسين أن قدماء المصريين هم أول من استخدم أسس الهندسة بشكل واسع وعميق.

تبرز أهمية الهندسة لأسباب عديدة. فالعالم يفيض بالأشكال الهندسية. فندفات الجليد مثلاً، تتخذ أشكالاً سداسيَّة (سداسية الوجوه) ودودة الأرض تَتَّخذ شكلاً أسطوانيًا، وجدران البيوت والمباني مستطيلة الشكل، وكثير من الجسور دعائمها مثلثة الشكل. وبما أن الأشكال الهندسية تحيط بنا من كل جانب لذلك سيكون فهمنا وتقديرنا لعالمنا أفضل لو تعلمنا شيئاً عن الهندسة.

للهندسة أيضًا تطبيقات عملية في مجالات عدة. فالمعماريون والنجَّارون يحتاجون لفهم خواص الأشكال الهندسية لتشييد مبانٍ آمنة وجذابة. وملاحو السُفن والطائرات وسفن الفضاء يعتمدون على الأفكار الهندسية لتحديد ومتابعة خط السير الصحيح. كما يستخدم المصمِّمون والمهندسون والمشتغلون بالمعادن والمصوِّرون مبادئ الهندسة في أداء أعمالهم.

[أحمد سعد الدين]

الهندسة نظام منطقي


الاستدلال الاستنتاجي. يعتبر ذا أهمية بالغة في دراسة الهندسة. وهو ينطلق من تقارير مسلَّم بصحتها سلفًا. وهذه التقارير الصحيحة تُرتَّب بصورة منطقية لتؤدي إلى نتائج. وعندما تكون التقارير الابتدائية صائبة فإن الاستدلال الاستنتاجي الصحيح يؤدي دائمًا إلى نتائج صحيحة.

ومثال للاستدلال الاستنتاجي؛ نفترض أننا بصدد إثبات أن مجموع زوايا شكل رباعي هو 360°. يمكننا البدء بمعلومتين نعلم صحتهما سلفًا: 1- أي شكل رباعي يمكن تجزئته إلى مثلثين. 2- مجموع زوايا المثلث 180°.

وبالاستدلال الاستنتاجي يمكننا التوصل إلى أن مجموع زوايا الشكل الرباعي يساوي 2 × 180° أي ضعف زوايا المثلث أي 360°. في الشكل الرباعي أ ب جـ د أدناه مقياس الزاوية 1 (نرمز له بالرمز م <1) + م<2 + م <3 = 180° وكذلك م <4 + م < 5 + م < 6 = 180°. إذن م <1 + م <2 + م < 3 + م <4 + م 5 + م < 6 = 360°.




وبما أننا استدللنا منطقيًا من معلومات صحيحة؛ فيمكننا التيقن من أن نتيجتنا صحيحة.

والاستدلال الاستنتاجي هو أحد نوعين من الاستدلال ويسمَّى الثاني الاستدلال الاستقرائي، ولإيضاح الاستدلال الاستقرائي

[أحمد سعد الدين]

التنظيم المسلمي. الهندسة مرتبة باعتبارها نظامًا بدهيًا. وهو نظام مؤَسَّس على تقارير مسلّم بصحتها. ومن هذه التقارير الصحيحة يمكن بالاستدلال الاستنتاجي أن نبرهن على صحَّة تقارير تتعلق بطوائف من الأشياء. وهذه الأشياء بالنسبة للهندسة، أشكال هندسية.

ويتكون أي نظام بدهي من ثلاثة مكونات: 1- الحدود 2- المسلَّمات 3- النظريات.

الحدود. تقع حدود الهندسة في إحدى طائفتين: الحدود غير المعرَّفة والحدود المعرَّفة. والحدود غير المعرَّفة مثل النقطة والمستقيم والمستوي، وهي اللبنات الأساسية في النظام المسلمي للهندسة. وننظر إلى النقطة والمستقيم والمستوي على أنها مضبوطة تمامًا، ولكن الصُّور التي نرسمها لها ولأشكال أخرى ما هي إلا للتقريب. فالنقطة في الهندسة مثلاً، تحتل موقعًا في الفضاء ولكن لا أبعاد لها البتة، والمستقيم له طول وليس له عرض. ولكن المنقوطة التي تمثِّل النقطة على الورقة لا بد أن تتخذ أبعادًا، وكذلك مهما يكن المستقيم رفيعًا فإن له عرضًا.

ويجوز استخدام الحدود غير المعرَّفة لتعريف حدود أخرى. فمثلاً، القطعة المستقيمة أب ورمزها أ ب المبينة أدناه يمكن تعريفها على أنها مجموعة النقاط التي تتكون من أ و ب وجميع النقاط الواقعة بين أ و ب على المستقيم أ ب (أ ب). وكذلك الشعاع أ ب ورمزه أ ب يمكن تعريفه على أنه الجزء من المستقيم أ ب الذي يحتوي النقطة أ وكل النقاط التي تقع في جانب الخط نفسه الذي تقع عليه ب.




المسلَّمات تسمى أيضًا الفرضيات وهي تقارير نسلِّم بصحتها ولذا نقبلها دون برهان. وكمثال لإحدى المسلَّمات لدينا التقرير: لكل نقطتين منفصلتين يوجد مستقيم واحد فقط يحويهما.

ولقد استَحدث عالم الرياضيات الإغريقي إقليدس وطوّر أول مجموعة من المسلمات الهندسية في كتابه العناصر في القرن الرابع ق.م. وأصبح هذا الكتاب يُشكل القاعدة الأساسية للكتب الهندسية حتى الثلاثينيات من القرن العشرين. وفي عام 1932م، قدم الرياضي الأمريكي ج.د. بيركوف مجموعة منقَّحة من المسلمات.

النظريات تقارير يمكن إثبات صحتها بالاستدلال الاستنتاجي. والنهج المتبع لإثبات صحة النظرية يتم على خطوات؛ تشتمل كل خطوة على إحالة إلى تعريف أو مسلمة أو نظرية سبق برهانها، أو معلومات أخرى معطاة مسبقًا.

ومن الأمثلة على النظرية، التقرير الذي ناقشناه من قبل الذي ينص على أن مجموع زوايا الشكل الرباعي 360°. ولبرهان هذه النظرية نشير إلى المسلمة: أي شكل رباعي يمكن تجزئته إلى مثلثين، وكذلك إلى النظرية التي سبق برهانها مجموع زوايا المثلث 180°.

[أحمد سعد الدين]

خواص الأشكال الهندسية


التطابق. تتناول العديد من المسلمات المهمَّة والنظريات الهندسيَّة العديد من الحقائق المتعلِّقة بالأشكال المتطابقة. والأشكال المتطابقة هي الأشكال التي لها نفس الشكل والحجم. ولمفهوم التطابق أهميته في عدة مجالات في الحياة. فعلى سبيل المثال، عند تصنيع السيارات على نطاق واسع فإن المصدات الواقية للسيارات من الطراز ذاته متطابقة، إذ لو لم تكن متطابقة فلن يستطيع العمال تجميع مقدمة ذلك الطراز من السيارات بكفاءة.

وأبسط أنواع الأشكال المتطابقة هي القطع المستقيمة والزوايا المتساوية. وبما أن كل المستقيمات لها نفس الشكل فإن القطع المستقيمة المتطابقة تُعرَّف على أنها القطع المستقيمة المتساوية الطول. ونقول عن زاويتين أنهما متطابقتان إذا كان قياسهما واحدًا. وكما يبيِّن الرسم أدناه، على سبيل المثال، فالزاوية ج د هـ تطابق الزاوية س ص ع إذ إن قياس كلٍّ منهما 45°. وللتعبير عن علاقة التطابق هذه نرمز لها بـ< ج د هـ =< س ص ع.




لإثبات تطابق مثلثين علينا أن ننشئ تناظرًا بين رؤوس المثلثين ـ أي نقاط التقاء الأضلاع ـ وكذلك بين أضلاع المثلثين. بعبارة أخرى علينا أن نجد تقابلاً بين رؤوس وأضلاع المثلثين بحيث تتطابق الزوايا المتناظرة والأضلاع المتناظرة. افترض أنه في المثلثين أ ب جـ، هـ د و أدناه لدينا < ب =< د، جـ =< و، أ =< هـ ، ب جـ =دو، أ ب = هـ د ، أ جـ = هـ و حيث الرمز أ ب يعني طول قطعة المستقيم [أب]. ومن ثم يمكن أن نخلص إلى أن المثلثين أ ب جـ ، هـ د و متطابقان D أ ب جـ = Dهـ دو.

وهنالك مسلمات ونظريات بعينها تُحدِّد الشروط الضرورية والكافية لتطابق المثلثات. لذا فليس من الضروري دائمًا بيان تطابق كل الزوايا والأضلاع المتناطرة في مثلثين لإثبات أن المثلثين متطابقان. فعلى سبيل المثال، تنص مسلمة الضلعين والزاوية المحصورة بينهما على أنه إذا كان ضلعان والزاوية المحصورة بينهما في مثلث مطابقين لضلعين والزاوية المحصورة بينهما في مثلث آخر، كان هذان المثلثان متطابقين. وعلى الرغم من أنه من الممكن تعريف التطابق لأشكال عدا المثلثات فإن معظم دراسة التطابق في الهندسة مكرَّسٌ لتطابق المثلثات.

[أحمد سعد الدين]

التماثل. يعطي المثلثان أ ب جـ، هـ ز ك أدناه مثالاً لتماثل الأشكال. لاحظ أن هـ ز يساوي وحدتين وطوله ضعف طول أ ب الذي يساوي وحدة واحدة. ونرمز لذلك بـ هـ ز = 2 أ ب وبالإضافة إلى ذلك فإن هـ ك = 2 أ جـ، ز ك = 2ب جـ . وأخيرًا وكما نرى من الرسم فإن أ = < هـ ، < ب =< ز ، ج = < ك، أي بعبارة أخرى تكون الزاويا المتناظرة متطابقة والأضلاع المتناظرة متناسبة. نقول عن أضلاع شكل ما إنها متناسبة عندما تتساوى النسب بين الأضلاع المتناظرة. وقيمة هذه النسبة تسمَّى ثابت التناسب. وللمثلثين أ ب ج ، هـ ز ك فإن ثابت التناسب يساوي 2. ونكتب D أ ب ج ~ D هـ ز ك للتعبير عن التماثل بين المثلثين Dأ ب ج، وَ Dهـ ز ك. ونقول عن أي شكلين هندسيين أنهما متماثلان إذا كانت الأضلاع المتناظرة لهما متطابقة والزوايا المتناظرة لهما متناسبة.




ولمفهوم التماثل عدة تطبيقات عملية. فالخرائط المرسومة بمقياس رسم على سبيل المثال، تعتمد على مفهوم التماثل ؛كما هو الحال في تصغير وتكبير الرسوم والصور الفوتوغرافية.

[أحمد سعد الدين]

بعض الإنشاءات الهندسية الأساسية
ظل الناس منذ عهد قدماء الإغريق على اهتمام كبير بوسائل إنشاء الأشكال الهندسية. وقد أرسى الإغريق تقليد استخدام الفرجار والمسطرة فقط لرسم الأشكال الهندسية. ويمكن تنفيذ الإنشاءات التالية باستخدام هاتين الأداتين فقط.



تنصيف الزاوية. لنفرض أننا نريد تنصيف الزاوية أ م جـ أدناه (أي تقسيمها إلى قسمين متساويين). ضع سن الفرجار على النقطة م ثم ارسم قوسًا يقطع ضلعي الزاوية عند س ، ص. افتح الفرجار فتحة أكبر من نصف المسافة بين س ، ص. ضع سن الفرجار عند النقطة س وارسم قوسًا داخل الزاوية أ م جـ. ثم ضع سن الفرجار عند النقطة ص وارسم قوسًا داخل الزاوية أ م جـ ليقطع القوس الأول عند ن. ارسم الشعاع م ن. هذا الشعاع ينصف الزاوية أ م جـ مُنشِئًا زاويتين متطابقتين <ن م أ و<ن م جـ.







تنصيف قطعة مستقيمة. لتنصيف القطعة المستقيمة أ ب أدناه، افتح الفرجار فتحة أكبر من نصف طول القطعة أ ب. ضع سن الفرجار عند أ وارسم قوسًا فوق القطعة أ ب وآخر أسفل منها، ثم كرر العملية نفسها مع وضع سن الفرجار عند ب. ارسم الخط س ص. النقطةع تنصف أ ب وفوق ذلك فإن المستقيم س ص يعامد أ ب.







رسم عمود على مستقيم. لنفترض أننا نريد إنشاء عمود على المستقيم أ ب عند النقطة ج التي تقع عليه. (انظر الرسم أدناه). ضع سن الفرجار عند ج وارسم قوسين ليقطعا أ ب عند س ، ص. وباستخدام س ، ص كنقطتي طرف، نصِّف القطعة المستقيمة س ص مثلما في التوجيهات المقدَّمة أعلاه. المستقيم المنصِّف م ن هو العمود على أ ب عند ج.




ولإنشاء عمود على الخط أ ب من نقطة د خارج أ ب، ضع سن الفرجار عند د وارسم قوسًا يقطع أ ب (كما في الرسم أدناه) عند النقطتين س ، ص. ثم بعد ذلك نصِّف س ص لتحصل على منتصفها م. المستقيم د م يعامد أ ب.

[أحمد سعد الدين]

أنواع الهندسة
يشتمل مجال دراسة الهندسة على عدة طرق. فقد تكون الهندسة إقليدية أو لا إقليدية انطلاقًا من المسلمات المستخدمة. والهندسة التحليلية تستخدم المسلمات نفسها التي تستخدمها الهندسة الإقليدية ولكنها توظف طرائق جبرية لدراسة الأشكال الهندسية. أما فروع الهندسة التي لا تستخدم أساليب الجبر فتسمى هندسات تركيبية.



الهندسة الإقليدية. تقوم على المسلمات التي قدَّمها إقليدس في كتابه العناصر وعلى مسلمات اشتُقّت لاحقًا من مسلمات إقليدس. ويمكن تقسيم الهندسة الإقليدية إلى هندسة مستوية وهندسة مجسمة. وتختص الهندسة المستوية (الهندسة المسطحة) بدراسة الأشكال ذات البعدين مثل المستقيمات والزوايا والمثلثات والأشكال الرباعية والدوائر. أما الهندسة المجسَّمة أو الفراغية فتتعلق بدراسة الأشكال ذات البُعْد الثلاثي كتلك المبينة أعلاه. تشمل المواضيع المدروسة في الهندسة الإقليدية تطابق وتماثل المُثلثات والأشكال الهندسية الأخرى، وخواص المستقيمات المتوازية والمتعامدة. ومن المواضيع الأخرى، خواص الدوائر والكرات وقياس مساحات وحجوم الأشكال.




وإحدى أهم مسلمات الهندسة الإقليدية هي مسلمة التوازي لإقليدس وتُعْرف أيضًا بمسلمة إقليدس الخامسة أو بديهية التوازي، وإحدى صياغاتها هي: من نقطة لا تقع على مستقيم معلوم يمكن رسم مستقيم واحد يمر بتلك النقطة ويوازي المستقيم المعلوم. فالمستقيم ل في الرسم أدناه على سبيل المثال، هو المستقيم الوحيد الذي يوازي المستقيم أ ب ويمر بالنقطة ن.




حاول الرياضيون منذ عهد إقليدس ولقرون تلت أن يبرهنوا على أن مسلمة التوازي يمكن إثباتها من بقية مسلمات إقليدس. ولكن بعد القرن التاسع عشر الميلادي، اكتشف الرياضيون أن ذلك غير ممكن. وأدى هذا الاكتشاف إلى إيجاد نظم هندسية استُبدلت فيها مسلمة التوازي بمسلمَات أخرى. وتدعى هذه النظم الهندسية بالنظم اللاإقليدية.



الهندسة اللاإقليدية. هنالك نوع أساسي من الهندسة اللاإقليدية يدعى الهندسة الزائدية، وفيها تستبدل بمسلمة التوازي المسلمة التالية: من نقطة لا تقع على مستقيم معلوم يمكن رسم أكثر من مستقيم يمر بتلك النقطة ويوازي المستقيم المعلوم.



وفي أحد نماذج الهندسة الزائدية يعرَّف المستوى على أنه مجموعة النقاط الواقعة داخل دائرة، ويعرف المستقيم على أنه وتر من الدائرة، وتعرف المستقيمات المتوازية على أنها المستقيمات التي لا تتقاطع. وفي الشكل الذي على اليسار فإن المستقيمات ل ، م ، ك كلها تعد موازية للمستقيم أ ب بالرغم من أنها كلها تتقاطع في نقطة واحدة س.

وتسمى الهندسة الزائدية أحيانًا هندسة لوباتشيفسكي إذ إنها اكتشفت في بداية القرن التاسع عشر الميلادي بوساطة عالم الرياضيات الروسي نيكولاي لوباتشيفسكي.

وهناك نوع أساسي آخر من الهندسة اللا إقليدية يدعى الهندسة الناقصية تستبدل فيها بمسلمة التوازي المسلمة التالية: من نقطة لا تقع على مستقيم معلوم لا يمكن رسم مستقيم لا يقاطع المستقيم المعلوم. بعبارة أخرى المستقيمات المتوازية لا وجود لها في الهندسة الناقصية.

وفي أحد نماذج الهندسة الناقصية نعرِّف المستقيم على أنه دائرة عظمى على الكرة، حيث الدائرة العظمى هي أي دائرة تنصف الكرة إلى جزأين متساويين. وكل الدوائر العظمى على الكرة تتقاطع. في الكرة التي على اليسار الدائرة العظمى أ ب جـ د تتقاطع مع الدائرة العظمى س جـ ص أ. وتسمى الهندسة الناقصية، أيضًا، هندسة ريمان إذ إنها تطوَّرت في منتصف القرن التاسع عشر الميلادي على يد عالم الرياضيات الألماني جورج فريدريك برنارد ريمان.



وبما أن أحد أهم استخدامات الأشكال والمبادئ الهندسية هو وصف العالم الطبيعي، فلنا أن نتساءل أي نوع من الهندسة ـ الإقليدية أم اللاإقليدية ـ يُقدِّم النموذج الأفضل لذلك. فهنالك حالات يكون التناول اللاإقليدي أكثر ملاءمة لها، مثل نظرية النسبية لأينشتاين. وهنالك حالات أخرى مثل البناء والهندسة والمساحة يكون من الأفضل تناولها بطريقة إقليدية.

[أحمد سعد الدين]

الهندسة التحليلية. طريقة لدراسة الخواص الهندسية للأشكال باستخدام الوسائل الجبرية. وتهتم الهندسة التحليلية بالمواضيع ذاتها التي تهتم بها الهندسة الإقليدية؛ غير أنها تتيح طرقًا أيسر لبرهان العديد من النظريات. وتلعب دورًا مهمًا في حساب المثلثات وحساب التفاضل والتكامل.

تستخدم الهندسة التحليلة نظامًا إحداثيا كالذي يظهر في الشكل أدناه. وهذا النظام الذي يسمى النظام الديكارتي يتكون من خطي أعداد متعامدين في المستوى. ويُحدَّد موقع النقاط في الأشكال الهندسية في المستوى بإعطائها إحداثيين (عددين) على خطي الأعداد س ، ص. ويسمى س الإحداثي السيني وهو يحدد موقع النقطة بالنسبة لمحور س (خط الأعداد الأفقي) بينما يحدِّد ص ويسمى الإحداثي الصادي موقع النقطة بالنسبة لمحور ص (خط الأعداد الرأسي).

وعلى سبيل المثال، فإن الزوج الإحداثي للنقطة أ في الشكل أدناه هو (2، 1). وهذا يعني أن النقطة أ تقع على بعد وحدتين على يمين محور ص وعلى بعد وحدة واحدة فوق محور س مباشرة. وبالإضافة إلى هذا؛ فإن الشكل يظهر نقاطًا أخرى: ب ، جـ ، د، وإحداثياتها. هنالك تقابل أحادي بين نقاط المستوى والأزواج المرتبة (س ، ص) على المحورين الإحداثيين.




ويمكننا وصف الأشكال الهندسية بوساطة الإحداثيات بتكوين معادلات جبرية تمثل النقاط التي تكون تلك الأشكال. فمثلاً المعادلة 2س + ص = 2 لها العديد من الحلول على الصيغة (س ، ص) مثل (-2 ، 6)، (-1،4) ، (0 ، 2) ، (1 ، 0) ، (2 ، -2). وإذا رسمنا هذه النقاط على بيان إحداثي ثم وصَّلنا بينها فسنجدها تقع على خط مستقيم.




ويوضح الشكل السابق رسمًا بيانيًا لحلول المعادلة. أي نقطة (س ، ص) تقع على المستقيم لها إحداثيات تحقق المعادلة 2س + ص = 2، وكذلك أي زوج من الأعداد (س ، ص) يحقق المعادلة يقع على المستقيم. وللأشكال المستوية الأخرى أيضًا معادلاتها الخاصة بها ويمكن رسمها بيانيًا على نظام إحداثي. ومن هذه الأشكال نذكر القطوع المخروطية، وهي أنواع من المنحنيات تنتج عن تقاطع الأشكال المخروطية مع المستويات ومنها الدوائر والقطوع الناقصة والقطوع المكافئة.

[أحمد سعد الدين]

نبذة تاريخية


الأشكال الهندسية الأولى. لا تُعرف بالتحديد البدايات الأولى للهندسة. ولكن تُبيِّن سجلات قدماء المصريين والبابليين أنهم كانوا على دراية ببعض مبادئ الهندسة قبل 5000 عام. ولقد طوَّر المصريون أفكارًا هندسية يمكن استخدامها لإعادة تخطيط حدود الأراضي بعد فيضان النيل السنوي، كما استخدم المصريون أيضًا الهندسة في بناء الأهرام.

انصبَّ اهتمام البابليين ـ مثلهم في ذلك مثل المصريين ـ على التطبيقات العملية للهندسة؛ كطرق القياسات اللازمة في البناء ومسح الأراضي. كان البابليون أيضًا على دراية بالأفكار التي أبانتها لاحقًا نظريات هندسية محدَّدة بما في ذلك نظرية فيثاغورث. انظر: فيثاغورث، نظرية.


هندسة الإغريق. كان للفيلسوفَيْن الإغريقيَيْن طاليس وفيثاغورث اللذين عاشا خلال القرن السادس قبل الميلاد تأثير كبير في التطور اللاحق في الهندسة. ويرجع الفضل إلى طاليس في تقديم أول برهان استنتاجي لنظرية هندسية. أما فيثاغورث الذي لقب بأبي الرياضيات، فقد أنشأ مدرسة دُرست فيها الرياضيات بتوسع كبير، كما قام بصياغة النظرية التي تحمل اسمه.

وفي القرن الرابع قبل الميلاد أصبح الإغريق أول من درس الرياضيات من منطلق نظري، وليس لمجرد تطبيقاتها العملية. ويرجع هذا التغيير، في التركيز إلى حد كبير، إلى تأثير الفيلسوف الإغريقي أفلاطون وتلاميذه في الأكاديمية. أما إسهام أفلاطون الأكثر ديمومة في الرياضيات فهو إصراره على استخدام الاستدلال الاستنتاجي في إثبات النظريات الهندسية. وقد كان يجادل بضرورة استخدام المنطق بدلاً من الرسومات المحسوسة لإثبات النظريات الهندسية؛ إذ إن الحواس يمكن خداعها. وخلال القرن الرابع قبل الميلاد، وضع الفيلسوف الإغريقي أرسطو، بصورة جلية، الأسس لنظام بدهي للاستدلال الاستنتاجي.

أما عالم الرياضيات الإغريقي القديم الذي يرتبط اسمه أكثر من غيره بالهندسة فهو إقليدس. ففي القرن الرابع قبل الميلاد. قدَّم إقليدس في كتابه العناصر النموذج الكلاسيكي لنظام مسلَّميّ بتعريفه الحدود، وإيراده المسلمات، ثم استخدامه المسلمات لإثبات المئات من النظريات. وخلال القرن الثالث قبل الميلاد؛ اكتشف عالم الرياضيات أرخميدس طرقًا لإيجاد مساحات وحجوم الأشكال المخروطية.

[أحمد سعد الدين]

العرب والهندسة. لم يستطع أحد بعد إقليدس الذي دوّن علم الهندسة أن يزيد على هذا العلم شيئًا أساسيًا. غير أن العرب لهم أفضال على الهندسة؛ إذ إنهم اهتموا بها حينما أهملتها الشعوب الأخرى ثم حفظوها من الضياع وناولوها الأوروبيين في زمن باكر.

برع العرب في قضايا الهندسة وشرحوها، فقد عرفوا تسطيح الكرة وألّفوا فيه ومارسوه فنقلوا الخرائط من سطح الكرة إلى السطح المستوي، ومن المسطح المستوي إلى السطح الكرويّ. ولقد كان اهتمام العرب بالناحية العملية من الهندسة أكثر من اهتمامهم بالناحية النظرية. ومن العلماء العرب الذين احتلوا منزلة كبيرة في الهندسة العالم العربي المسلم البيروني (ت440هـ، 1048م) ومن أشهر كتبه، كتاب استخراج الأوتار في الدائرة بخواص الخط المنحني فيها. كما استطاع غياث الدين الكاشي في القرن الخامس عشر الميلادي أن يستخرج نسبة محيط الدائرة إلى قطرها ويحسبها حسابًا دقيقًا.

وفي حساب المثلثات قام العالم العربي المسلم نصير الدين الطوسي (ت 672هـ ، 1272م) بتنظيم المعارف المتعلقة بعلم المثلثات، ثم جعله مستقلاً عن علم الفلك. ولولا العرب لما كان علم المثلثات على ما هو عليه الآن، فإليهم يرجع الفضل في وضعه بشكل علميّ منظم. وممن اشتهر في علم المثلثات أيضًا العالم العربي المسلم أبو عبدالله محمد بن جابر البتاني (ت 317هـ، 929م). وهو أول من وضع جداول للظل التمام. وتبدو مكانة أبي الوفاء البوزجاني (ت 388هـ ، 998م) في المثلثات واضحة، فقد أوجد طريقة لحساب جداول الجيب، وكذلك عرف الصلات في المثلثات.



بدايات الهندسة الحديثة. يمكن إرجاع بدايات الهندسة الحديثة إلى القرن السابع عشر الميلادي، ففي ذلك الوقت ازداد الاتصال بين علماء الرياضيات عما كان عليه في أي وقت منذ أفلاطون، وشرع الفرنسيان رينيه ديكارت وبيير دوفيرما في العمل فيما صار يعرف لاحقًا بالهندسة التحليلية.

ولقد أوضح ديكارت مبادئ الهندسة التحليلية في كتابه الهندسة عام 1637م، بينما كان مدخل فيرما للهندسة أقرب للهندسة التحليلية الحديثة. وبما أن فيرما لم يقم بنشر أعماله فإن معظم الناس يُرجِعون الفضل إلى ديكارت في اكتشاف الهندسة التحليلية.



نهوض الهندسة اللاإقليدية. في مطلع القرن التاسع عشر الميلادي، اكتشف كل من الألماني كارل فريدرك جاوس والمجري يانوس بولياي والروسي نيكولاي لوباتشيفسكي الهندسة اللاإقليدية كلُّ بصورة مستقلة عن الآخر. ففي محاولاتهم لإثبات مسلمة التوازي لإقليدس؛ توصَّل كل منهم لعدم إمكانية تقديم برهان لها. وقدَّم كل واحد منهم الهندسة الزائدية كأول نموذج لهندسة لاإقليدية. وكثيرًا مايُنسب فضل اكتشاف الهندسة الزائدية إلى لوباتشيفسكي نسبة لأبحاثه المنشورة وبخاصة مقالته حول أسس الهندسة (1829م).

ولقد ظلت الهندسة اللاإقليدية خارج إطار الهندسة التقليدية حتى منتصف القرن التاسع عشر الميلادي. ففي ذلك الحين بدأ جورج فريدريك برنارد ريمان معالجة الهندسة اللاإقليدية. وفي محاضرة له عام 1854م، ناقش ريمان فكرة النظر إلى الهندسة على أنها دراسة أشياء غير معينة لأي عدد من الأبعاد في أي عدد من الفضاءات. وقد جعلت نظرته للهندسة دراسة عامة للفضاءات المنحنية نظرية النسبية لأينشتاين أمرًا ممكنًا.

قادت الاكتشافات الرياضية في القرن التاسع عشر الميلادي إلى تطوير مداخل أخرى إلى الهندسة، منها هندسة التحويلات التي تبحث في خصائص الأشكال الهندسية التي تظل ثابتة عندما تتعرض الأشكال إلى تحويلات معيَّنة (تغيير في الموضع). ويُعنى أحد ضروب هندسة التحويلات ويسمى الطوبولوجيا، بدراسة الخصائص الهندسية التي لا تتغير عند تشويه الأشكال أثناء تعرُّضها إلى عمليات الثنْي أو المطِّ أو القولبة. وتستأثر هندسات التحويلات بحيز كبير من النشاط البحثي في الرياضيات

[أحمد سعد الدين]

الطوبولوجيا


الطوبولوجيا أو الهندسة اللاكمية فرع من الرياضيات يُعنى بدراسة خواص الأشكال الهندسية. وهذه الخواص لاتتغير علي الرغم مما يحدث للشكل من ثني أو مدٍّ. ولا يميز علم الطوبولوجيا بين شكل هندسي كروي وشكل هندسي مكعب، لأنه يمكن تشكيل أو دمج هذه الأشكال بعضها ببعض. إلا أن من أهم خصائص علم الطوبولوجيا ومميزاته أنه يميز بين الشكل الهندسي الكروي وشكل الحلقة لأنه لا يمكن تعديل الشكل الهندسي الكروي، وتحويله إلى شكل حلقي دون تمزيق لشكل الحلقة. وغالبًا مايُعرف علم الطوبولوجيا بالشريحة الهندسية المطاطية لأن أشكاله يمكن تعديلها وتحويرها. ولا شك أن هناك اختلافًا بين الطوبولوجيا والهندسة الإقليديية إذ إن الطوبولوجيا لا تَعْبأ بالإستقامة أو التوازي أو المسافة لأن التعديل والتحوير يمكن أن يطرأ على هذه الأشكال الهندسية. أما علم الطوبولوجيا فيدرس المسائل الأخرى، مثل كم مرة يُمْكِن للمنحنَى أن يتقاطع مع نفسه، وهل كان سطحًا مغلقًا أو أن له حدودًا واضحة أم غير ذلك، وهل كان سطحًا متصلاً أم غير متصل.

وعلم الطوبولوجيا يَفْترض نظريات علمية ثم يُحَاول إثباتها. وهو بهذا يُشْبِه علم الهندسة الإقليدي. فعلى سبيل المثال: يُمكن تطبيق نظرية الألوان الأربعة على الخرائط. وهذه النظرية تنص على أن كل ما يُحتاج إليه لتلوين أية خريطة جغرافية هو أربعة ألوان، وهذه الألوان تكفي لجعل البلدان المتجاورة تأخذ لونًا يميز كلاً منها عن الآخرى. وهذه النظرية قد أثبتها العالم الرياضي الأمريكي كنيث أبل والعالم الرياضي الألماني وولف جانج هيكن في عام 1967م. ويُعد العالم الرياضي الفرنسي هنري بوانكاريه (1854-1912م) رائدًا في حقل الطوبولوجيا النظرية.

[أحمد سعد الدين]

الاستقراء


الاستقراء عملية الاستنتاج التي يبدأ بها الشخص من تجارب معينة، ويتقدم نحو التعميمات. وقد يبدأ الشخص بتجارب أكل التفاح الذي يكون كله حلو المذاق. وقد يصل الشخص من هذه التجارب إلى نتيجة فحواها أن كل التفاح حلو المذاق. ولكن التفاحة التالية التي سيأكلها قد لا تكون حلوة المذاق. والاستقراء يقود إلى الاحتمالات، وليس إلى اليقين. وهو الأساس الذي يعتمد عليه الناس للحكم على تصرفاتهم بصورة صائبة.

ويستخدم الاستقراء مع الطريقة الاستنتاجية أيضًا للتوصل إلى الاكتشافات العلمية. ويصل الناس بالاستنتاج إلى نتائج معينة مبتدئين من فرضيات عامة. ويتوصل العلماء إلى نظريات عامة باللجوء إلى أسلوب الاستنتاج لكي ينجحوا في التوصل إلى اكتشافات. ويمكنهم الاستدلال على التنبؤات الجديدة من هذه النظريات العامة. وتُختبر هذه التنبؤات بالملاحظات والتجارب. وقد تُستخدم نتائج التجربة للتقدم نحو خطوة استقرائية جديدة للحصول على نظرية عامة أفضل. ولا يستطيع الناس التوصل إلى نظريات جديدة باستخدام الاستقراء وحده. واستطاع العلم إحراز تقدمه بالجمع بين هذين الأسلوبين.

[أحمد سعد الدين]

فيثاغورث، نظرية


فيثاغورث، نظرية. تنص نظرية فيثاغورث في علم الهندسة أنه ¸في المثلث القائم الزاوية يكون مربع الوتر مساويًا لمجموع مربعي الضلعين الآخرين·. والمثلث القائم الزاوية هو المثلث الذي تكون إحدى زواياه قائمة، أي تساوي 90°، والوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وتصاغ النظرية في المعادلة التالية:

أ² + ب² = جـ²

في هذه المعادلة يرمز أ إلى طول الوتر بينما يرمز كل من ب و جـ للضلعين الآخرين في المثلث. فإذا عرفت طولي أي ضلعين في المثلث القائم الزاوية يمكن التعويض عن مقداريهما في المعادلة واستخراج طول الضلع الثالث.


نشأة النظرية. أراد قدماء المصريين أن يخططوا أركانًا قائمة الزاوية لحقولهم، ولم تكن لديهم الأدوات المتوفرة اليوم. فكيف يصنعون زاوية قائمة 90°؟ اكتشف المصريون حوالي سنة 2000 ق.م، المثلث السحري 3-4-5 فأعدّ العمال حبلاً به 12 عقدة بينها مسافات متساوية، وشدوا الحبل حول ثلاثة أوتاد لتكوين مثلث أطوال أضلاعه 3، 4، 5 وحدات. وضلع المثلث ذو الوحدات الخمس هو الذي نطلق عليه الوتر، وتقابله الزاوية التي مقدارها90°.

تعلم الإغريق القدماء هذا العمل البارع من المصريين. وفي الفترة من سنة 500 حتى 350 ق.م. اكتشفت مجموعة من الفلاسفة الإغريق يدعون الفيثاغورثيين (أتباع فيثاغورث) المثلث 3-4-5. وتعلموا فكرة أن أضلاع المثلث القائم الزاوية هي جوانب لثلاث مربعات. وتساوي مساحة المربع طول ضلعه مضروبًا في نفسه. وفي المثلث 3-4-5 تساوي مساحة المربع الذي يكون الوتر أحد أضلاعه، مساحة مجموع مربعي الضلعين الآخرين 5×5=3×3+4×4. ثم عمم الفيثاغورثيون هذه القاعدة عن المثلث 3-4-5 لكي يطبقوها عمليًا على كل المثلثات القائمة الزاوية، وأصبح هذا المبدأ العام معروفًا بنظرية فيثاغورث.


برهان إقليدس. تضمنت المصطلحات الهندسية عدة براهين على نظرية فيثاغورث. وينسب أحد هذه البراهين الشهيرة إلى عالم الرياضيات الإغريقي إقليدس. وفي الرسم أدناه تمثل أ ب جـ المثلث القائم الزاوية الأصلي ورسمت مربعات على كل ضلع من أضلاع المثلث، وتحددت الزاوية القائمة في جـ. فكيف تثبت أن المربع على الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين؟


برهان إقليدس

فيما يلي خطوات البرهان. تنبع أسباب كل خطوة من البدهيات والمبادئ وغيرها من النظريات الهندسية.

أولاً يمكنك باستخدام سلسلة من الخطوات إثبات أن مساحة المربع المقام على الضلع أجـ تساوي ضعف مساحة المثلث أ ب ك.

ثانيًا: المثلثان أ ب ك ، أ جـ د متطابقان.

ثالثًا: مساحة المستطيل أ د س س1 تساوي ضعف مساحة المثلث أ جـ د. وبناءً عليه فإن مســـاحة المربع المقام على الضلع أ جـ تساوي مساحة المستطيل أ د س س1.

وبالطريقة نفسها يمكن إثبات أن مساحة المربع المنشأ على الضلع ب جـ يساوي مساحة المستطيل ب هـ س س1. وأخيرًا فإن مربع الضلع أ ب يساوي حاصل جمع أجزائه (أ د س س1) و (ب هـ س س1)، أي مجموع المربعين المقامين على الضلعين الآخرين.

[أحمد سعد الدين]

الطوبولوجيا أو الهندسة اللاكمية فرع من الرياضيات يُعنى بدراسة خواص الأشكال الهندسية. وهذه الخواص لاتتغير علي الرغم مما يحدث للشكل من ثني أو مدٍّ. ولا يميز علم الطوبولوجيا بين شكل هندسي كروي وشكل هندسي مكعب، لأنه يمكن تشكيل أو دمج هذه الأشكال بعضها ببعض. إلا أن من أهم خصائص علم الطوبولوجيا ومميزاته أنه يميز بين الشكل الهندسي الكروي وشكل الحلقة لأنه لا يمكن تعديل الشكل الهندسي الكروي، وتحويله إلى شكل حلقي دون تمزيق لشكل الحلقة. وغالبًا مايُعرف علم الطوبولوجيا بالشريحة الهندسية المطاطية لأن أشكاله يمكن تعديلها وتحويرها. ولا شك أن هناك اختلافًا بين الطوبولوجيا والهندسة الإقليديية إذ إن الطوبولوجيا لا تَعْبأ بالإستقامة أو التوازي أو المسافة لأن التعديل والتحوير يمكن أن يطرأ على هذه الأشكال الهندسية. أما علم الطوبولوجيا فيدرس المسائل الأخرى، مثل كم مرة يُمْكِن للمنحنَى أن يتقاطع مع نفسه، وهل كان سطحًا مغلقًا أو أن له حدودًا واضحة أم غير ذلك، وهل كان سطحًا متصلاً أم غير متصل.

وعلم الطوبولوجيا يَفْترض نظريات علمية ثم يُحَاول إثباتها. وهو بهذا يُشْبِه علم الهندسة الإقليدي. فعلى سبيل المثال: يُمكن تطبيق نظرية الألوان الأربعة على الخرائط. وهذه النظرية تنص على أن كل ما يُحتاج إليه لتلوين أية خريطة جغرافية هو أربعة ألوان، وهذه الألوان تكفي لجعل البلدان المتجاورة تأخذ لونًا يميز كلاً منها عن الآخرى. وهذه النظرية قد أثبتها العالم الرياضي الأمريكي كنيث أبل والعالم الرياضي الألماني وولف جانج هيكن في عام 1967م. ويُعد العالم الرياضي الفرنسي هنري بوانكاريه (1854-1912م) رائدًا في حقل الطوبولوجيا النظرية.

[أحمد سعد الدين]

الهندسة فرع من الرياضيات ُيعنى بدراسة هيئات وأحجام ومواضع الأشكال الهندسية. وهذه الأشكال تشمل الأشكال المستوية كالمثلثات والمستطيلات والأشكال المجسَّمة (ثلاثية البعد مثل المكعبات والكرات).

وقد تضمَنت الاستخدامات الأولى للهندسة قياس أطوال ومساحات الأراضي. ويعتقد معظم الدارسين أن قدماء المصريين هم أول من استخدم أسس الهندسة بشكل واسع وعميق.

تبرز أهمية الهندسة لأسباب عديدة. فالعالم يفيض بالأشكال الهندسية. فندفات الجليد مثلاً، تتخذ أشكالاً سداسيَّة (سداسية الوجوه) ودودة الأرض تَتَّخذ شكلاً أسطوانيًا، وجدران البيوت والمباني مستطيلة الشكل، وكثير من الجسور دعائمها مثلثة الشكل. وبما أن الأشكال الهندسية تحيط بنا من كل جانب لذلك سيكون فهمنا وتقديرنا لعالمنا أفضل لو تعلمنا شيئاً عن الهندسة.

للهندسة أيضًا تطبيقات عملية في مجالات عدة. فالمعماريون والنجَّارون يحتاجون لفهم خواص الأشكال الهندسية لتشييد مبانٍ آمنة وجذابة. وملاحو السُفن والطائرات وسفن الفضاء يعتمدون على الأفكار الهندسية لتحديد ومتابعة خط السير الصحيح. كما يستخدم المصمِّمون والمهندسون والمشتغلون بالمعادن والمصوِّرون مبادئ الهندسة في أداء أعمالهم.

[أحمد سعد الدين]

الهندسة نظام منطقي


الاستدلال الاستنتاجي. يعتبر ذا أهمية بالغة في دراسة الهندسة. وهو ينطلق من تقارير مسلَّم بصحتها سلفًا. وهذه التقارير الصحيحة تُرتَّب بصورة منطقية لتؤدي إلى نتائج. وعندما تكون التقارير الابتدائية صائبة فإن الاستدلال الاستنتاجي الصحيح يؤدي دائمًا إلى نتائج صحيحة.

ومثال للاستدلال الاستنتاجي؛ نفترض أننا بصدد إثبات أن مجموع زوايا شكل رباعي هو 360°. يمكننا البدء بمعلومتين نعلم صحتهما سلفًا: 1- أي شكل رباعي يمكن تجزئته إلى مثلثين. 2- مجموع زوايا المثلث 180°.

وبالاستدلال الاستنتاجي يمكننا التوصل إلى أن مجموع زوايا الشكل الرباعي يساوي 2 × 180° أي ضعف زوايا المثلث أي 360°. في الشكل الرباعي أ ب جـ د أدناه مقياس الزاوية 1 (نرمز له بالرمز م <1) + م<2 + م <3 = 180° وكذلك م <4 + م < 5 + م < 6 = 180°. إذن م <1 + م <2 + م < 3 + م <4 + م 5 + م < 6 = 360°.




وبما أننا استدللنا منطقيًا من معلومات صحيحة؛ فيمكننا التيقن من أن نتيجتنا صحيحة.

والاستدلال الاستنتاجي هو أحد نوعين من الاستدلال ويسمَّى الثاني الاستدلال الاستقرائي، ولإيضاح الاستدلال الاستقرائي

[أحمد سعد الدين]

التنظيم المسلمي. الهندسة مرتبة باعتبارها نظامًا بدهيًا. وهو نظام مؤَسَّس على تقارير مسلّم بصحتها. ومن هذه التقارير الصحيحة يمكن بالاستدلال الاستنتاجي أن نبرهن على صحَّة تقارير تتعلق بطوائف من الأشياء. وهذه الأشياء بالنسبة للهندسة، أشكال هندسية.

ويتكون أي نظام بدهي من ثلاثة مكونات: 1- الحدود 2- المسلَّمات 3- النظريات.

الحدود. تقع حدود الهندسة في إحدى طائفتين: الحدود غير المعرَّفة والحدود المعرَّفة. والحدود غير المعرَّفة مثل النقطة والمستقيم والمستوي، وهي اللبنات الأساسية في النظام المسلمي للهندسة. وننظر إلى النقطة والمستقيم والمستوي على أنها مضبوطة تمامًا، ولكن الصُّور التي نرسمها لها ولأشكال أخرى ما هي إلا للتقريب. فالنقطة في الهندسة مثلاً، تحتل موقعًا في الفضاء ولكن لا أبعاد لها البتة، والمستقيم له طول وليس له عرض. ولكن المنقوطة التي تمثِّل النقطة على الورقة لا بد أن تتخذ أبعادًا، وكذلك مهما يكن المستقيم رفيعًا فإن له عرضًا.

ويجوز استخدام الحدود غير المعرَّفة لتعريف حدود أخرى. فمثلاً، القطعة المستقيمة أب ورمزها أ ب المبينة أدناه يمكن تعريفها على أنها مجموعة النقاط التي تتكون من أ و ب وجميع النقاط الواقعة بين أ و ب على المستقيم أ ب (أ ب). وكذلك الشعاع أ ب ورمزه أ ب يمكن تعريفه على أنه الجزء من المستقيم أ ب الذي يحتوي النقطة أ وكل النقاط التي تقع في جانب الخط نفسه الذي تقع عليه ب.




المسلَّمات تسمى أيضًا الفرضيات وهي تقارير نسلِّم بصحتها ولذا نقبلها دون برهان. وكمثال لإحدى المسلَّمات لدينا التقرير: لكل نقطتين منفصلتين يوجد مستقيم واحد فقط يحويهما.

ولقد استَحدث عالم الرياضيات الإغريقي إقليدس وطوّر أول مجموعة من المسلمات الهندسية في كتابه العناصر في القرن الرابع ق.م. وأصبح هذا الكتاب يُشكل القاعدة الأساسية للكتب الهندسية حتى الثلاثينيات من القرن العشرين. وفي عام 1932م، قدم الرياضي الأمريكي ج.د. بيركوف مجموعة منقَّحة من المسلمات.

النظريات تقارير يمكن إثبات صحتها بالاستدلال الاستنتاجي. والنهج المتبع لإثبات صحة النظرية يتم على خطوات؛ تشتمل كل خطوة على إحالة إلى تعريف أو مسلمة أو نظرية سبق برهانها، أو معلومات أخرى معطاة مسبقًا.

ومن الأمثلة على النظرية، التقرير الذي ناقشناه من قبل الذي ينص على أن مجموع زوايا الشكل الرباعي 360°. ولبرهان هذه النظرية نشير إلى المسلمة: أي شكل رباعي يمكن تجزئته إلى مثلثين، وكذلك إلى النظرية التي سبق برهانها مجموع زوايا المثلث 180°.

[أحمد سعد الدين]

خواص الأشكال الهندسية


التطابق. تتناول العديد من المسلمات المهمَّة والنظريات الهندسيَّة العديد من الحقائق المتعلِّقة بالأشكال المتطابقة. والأشكال المتطابقة هي الأشكال التي لها نفس الشكل والحجم. ولمفهوم التطابق أهميته في عدة مجالات في الحياة. فعلى سبيل المثال، عند تصنيع السيارات على نطاق واسع فإن المصدات الواقية للسيارات من الطراز ذاته متطابقة، إذ لو لم تكن متطابقة فلن يستطيع العمال تجميع مقدمة ذلك الطراز من السيارات بكفاءة.

وأبسط أنواع الأشكال المتطابقة هي القطع المستقيمة والزوايا المتساوية. وبما أن كل المستقيمات لها نفس الشكل فإن القطع المستقيمة المتطابقة تُعرَّف على أنها القطع المستقيمة المتساوية الطول. ونقول عن زاويتين أنهما متطابقتان إذا كان قياسهما واحدًا. وكما يبيِّن الرسم أدناه، على سبيل المثال، فالزاوية ج د هـ تطابق الزاوية س ص ع إذ إن قياس كلٍّ منهما 45°. وللتعبير عن علاقة التطابق هذه نرمز لها بـ< ج د هـ =< س ص ع.




لإثبات تطابق مثلثين علينا أن ننشئ تناظرًا بين رؤوس المثلثين ـ أي نقاط التقاء الأضلاع ـ وكذلك بين أضلاع المثلثين. بعبارة أخرى علينا أن نجد تقابلاً بين رؤوس وأضلاع المثلثين بحيث تتطابق الزوايا المتناظرة والأضلاع المتناظرة. افترض أنه في المثلثين أ ب جـ، هـ د و أدناه لدينا < ب =< د، جـ =< و، أ =< هـ ، ب جـ =دو، أ ب = هـ د ، أ جـ = هـ و حيث الرمز أ ب يعني طول قطعة المستقيم [أب]. ومن ثم يمكن أن نخلص إلى أن المثلثين أ ب جـ ، هـ د و متطابقان D أ ب جـ = Dهـ دو.

وهنالك مسلمات ونظريات بعينها تُحدِّد الشروط الضرورية والكافية لتطابق المثلثات. لذا فليس من الضروري دائمًا بيان تطابق كل الزوايا والأضلاع المتناطرة في مثلثين لإثبات أن المثلثين متطابقان. فعلى سبيل المثال، تنص مسلمة الضلعين والزاوية المحصورة بينهما على أنه إذا كان ضلعان والزاوية المحصورة بينهما في مثلث مطابقين لضلعين والزاوية المحصورة بينهما في مثلث آخر، كان هذان المثلثان متطابقين. وعلى الرغم من أنه من الممكن تعريف التطابق لأشكال عدا المثلثات فإن معظم دراسة التطابق في الهندسة مكرَّسٌ لتطابق المثلثات.







التماثل. يعطي المثلثان أ ب جـ، هـ ز ك أدناه مثالاً لتماثل الأشكال. لاحظ أن هـ ز يساوي وحدتين وطوله ضعف طول أ ب الذي يساوي وحدة واحدة. ونرمز لذلك بـ هـ ز = 2 أ ب وبالإضافة إلى ذلك فإن هـ ك = 2 أ جـ، ز ك = 2ب جـ . وأخيرًا وكما نرى من الرسم فإن أ = < هـ ، < ب =< ز ، ج = < ك، أي بعبارة أخرى تكون الزاويا المتناظرة متطابقة والأضلاع المتناظرة متناسبة. نقول عن أضلاع شكل ما إنها متناسبة عندما تتساوى النسب بين الأضلاع المتناظرة. وقيمة هذه النسبة تسمَّى ثابت التناسب. وللمثلثين أ ب ج ، هـ ز ك فإن ثابت التناسب يساوي 2. ونكتب D أ ب ج ~ D هـ ز ك للتعبير عن التماثل بين المثلثين Dأ ب ج، وَ Dهـ ز ك. ونقول عن أي شكلين هندسيين أنهما متماثلان إذا كانت الأضلاع المتناظرة لهما متطابقة والزوايا المتناظرة لهما متناسبة.




ولمفهوم التماثل عدة تطبيقات عملية. فالخرائط المرسومة بمقياس رسم على سبيل المثال، تعتمد على مفهوم التماثل ؛كما هو الحال في تصغير وتكبير الرسوم والصور الفوتوغرافية.

[أحمد سعد الدين]

بعض الإنشاءات الهندسية الأساسية
ظل الناس منذ عهد قدماء الإغريق على اهتمام كبير بوسائل إنشاء الأشكال الهندسية. وقد أرسى الإغريق تقليد استخدام الفرجار والمسطرة فقط لرسم الأشكال الهندسية. ويمكن تنفيذ الإنشاءات التالية باستخدام هاتين الأداتين فقط.



تنصيف الزاوية. لنفرض أننا نريد تنصيف الزاوية أ م جـ أدناه (أي تقسيمها إلى قسمين متساويين). ضع سن الفرجار على النقطة م ثم ارسم قوسًا يقطع ضلعي الزاوية عند س ، ص. افتح الفرجار فتحة أكبر من نصف المسافة بين س ، ص. ضع سن الفرجار عند النقطة س وارسم قوسًا داخل الزاوية أ م جـ. ثم ضع سن الفرجار عند النقطة ص وارسم قوسًا داخل الزاوية أ م جـ ليقطع القوس الأول عند ن. ارسم الشعاع م ن. هذا الشعاع ينصف الزاوية أ م جـ مُنشِئًا زاويتين متطابقتين <ن م أ و<ن م جـ.







تنصيف قطعة مستقيمة. لتنصيف القطعة المستقيمة أ ب أدناه، افتح الفرجار فتحة أكبر من نصف طول القطعة أ ب. ضع سن الفرجار عند أ وارسم قوسًا فوق القطعة أ ب وآخر أسفل منها، ثم كرر العملية نفسها مع وضع سن الفرجار عند ب. ارسم الخط س ص. النقطةع تنصف أ ب وفوق ذلك فإن المستقيم س ص يعامد أ ب.







رسم عمود على مستقيم. لنفترض أننا نريد إنشاء عمود على المستقيم أ ب عند النقطة ج التي تقع عليه. (انظر الرسم أدناه). ضع سن الفرجار عند ج وارسم قوسين ليقطعا أ ب عند س ، ص. وباستخدام س ، ص كنقطتي طرف، نصِّف القطعة المستقيمة س ص مثلما في التوجيهات المقدَّمة أعلاه. المستقيم المنصِّف م ن هو العمود على أ ب عند ج.




ولإنشاء عمود على الخط أ ب من نقطة د خارج أ ب، ضع سن الفرجار عند د وارسم قوسًا يقطع أ ب (كما في الرسم أدناه) عند النقطتين س ، ص. ثم بعد ذلك نصِّف س ص لتحصل على منتصفها م. المستقيم د م يعامد أ ب.

[أحمد سعد الدين]

أنواع الهندسة
يشتمل مجال دراسة الهندسة على عدة طرق. فقد تكون الهندسة إقليدية أو لا إقليدية انطلاقًا من المسلمات المستخدمة. والهندسة التحليلية تستخدم المسلمات نفسها التي تستخدمها الهندسة الإقليدية ولكنها توظف طرائق جبرية لدراسة الأشكال الهندسية. أما فروع الهندسة التي لا تستخدم أساليب الجبر فتسمى هندسات تركيبية.



الهندسة الإقليدية. تقوم على المسلمات التي قدَّمها إقليدس في كتابه العناصر وعلى مسلمات اشتُقّت لاحقًا من مسلمات إقليدس. ويمكن تقسيم الهندسة الإقليدية إلى هندسة مستوية وهندسة مجسمة. وتختص الهندسة المستوية (الهندسة المسطحة) بدراسة الأشكال ذات البعدين مثل المستقيمات والزوايا والمثلثات والأشكال الرباعية والدوائر. أما الهندسة المجسَّمة أو الفراغية فتتعلق بدراسة الأشكال ذات البُعْد الثلاثي كتلك المبينة أعلاه. تشمل المواضيع المدروسة في الهندسة الإقليدية تطابق وتماثل المُثلثات والأشكال الهندسية الأخرى، وخواص المستقيمات المتوازية والمتعامدة. ومن المواضيع الأخرى، خواص الدوائر والكرات وقياس مساحات وحجوم الأشكال.




وإحدى أهم مسلمات الهندسة الإقليدية هي مسلمة التوازي لإقليدس وتُعْرف أيضًا بمسلمة إقليدس الخامسة أو بديهية التوازي، وإحدى صياغاتها هي: من نقطة لا تقع على مستقيم معلوم يمكن رسم مستقيم واحد يمر بتلك النقطة ويوازي المستقيم المعلوم. فالمستقيم ل في الرسم أدناه على سبيل المثال، هو المستقيم الوحيد الذي يوازي المستقيم أ ب ويمر بالنقطة ن.




حاول الرياضيون منذ عهد إقليدس ولقرون تلت أن يبرهنوا على أن مسلمة التوازي يمكن إثباتها من بقية مسلمات إقليدس. ولكن بعد القرن التاسع عشر الميلادي، اكتشف الرياضيون أن ذلك غير ممكن. وأدى هذا الاكتشاف إلى إيجاد نظم هندسية استُبدلت فيها مسلمة التوازي بمسلمَات أخرى. وتدعى هذه النظم الهندسية بالنظم اللاإقليدية.



الهندسة اللاإقليدية. هنالك نوع أساسي من الهندسة اللاإقليدية يدعى الهندسة الزائدية، وفيها تستبدل بمسلمة التوازي المسلمة التالية: من نقطة لا تقع على مستقيم معلوم يمكن رسم أكثر من مستقيم يمر بتلك النقطة ويوازي المستقيم المعلوم.



وفي أحد نماذج الهندسة الزائدية يعرَّف المستوى على أنه مجموعة النقاط الواقعة داخل دائرة، ويعرف المستقيم على أنه وتر من الدائرة، وتعرف المستقيمات المتوازية على أنها المستقيمات التي لا تتقاطع. وفي الشكل الذي على اليسار فإن المستقيمات ل ، م ، ك كلها تعد موازية للمستقيم أ ب بالرغم من أنها كلها تتقاطع في نقطة واحدة س.

وتسمى الهندسة الزائدية أحيانًا هندسة لوباتشيفسكي إذ إنها اكتشفت في بداية القرن التاسع عشر الميلادي بوساطة عالم الرياضيات الروسي نيكولاي لوباتشيفسكي.

وهناك نوع أساسي آخر من الهندسة اللا إقليدية يدعى الهندسة الناقصية تستبدل فيها بمسلمة التوازي المسلمة التالية: من نقطة لا تقع على مستقيم معلوم لا يمكن رسم مستقيم لا يقاطع المستقيم المعلوم. بعبارة أخرى المستقيمات المتوازية لا وجود لها في الهندسة الناقصية.

وفي أحد نماذج الهندسة الناقصية نعرِّف المستقيم على أنه دائرة عظمى على الكرة، حيث الدائرة العظمى هي أي دائرة تنصف الكرة إلى جزأين متساويين. وكل الدوائر العظمى على الكرة تتقاطع. في الكرة التي على اليسار الدائرة العظمى أ ب جـ د تتقاطع مع الدائرة العظمى س جـ ص أ. وتسمى الهندسة الناقصية، أيضًا، هندسة ريمان إذ إنها تطوَّرت في منتصف القرن التاسع عشر الميلادي على يد عالم الرياضيات الألماني جورج فريدريك برنارد ريمان.



وبما أن أحد أهم استخدامات الأشكال والمبادئ الهندسية هو وصف العالم الطبيعي، فلنا أن نتساءل أي نوع من الهندسة ـ الإقليدية أم اللاإقليدية ـ يُقدِّم النموذج الأفضل لذلك. فهنالك حالات يكون التناول اللاإقليدي أكثر ملاءمة لها، مثل نظرية النسبية لأينشتاين. انظر: النسبية. وهنالك حالات أخرى مثل البناء والهندسة والمساحة يكون من الأفضل تناولها بطريقة إقليدية.





الهندسة التحليلية. طريقة لدراسة الخواص الهندسية للأشكال باستخدام الوسائل الجبرية. وتهتم الهندسة التحليلية بالمواضيع ذاتها التي تهتم بها الهندسة الإقليدية؛ غير أنها تتيح طرقًا أيسر لبرهان العديد من النظريات. وتلعب دورًا مهمًا في حساب المثلثات وحساب التفاضل والتكامل.

تستخدم الهندسة التحليلة نظامًا إحداثيا كالذي يظهر في الشكل أدناه. وهذا النظام الذي يسمى النظام الديكارتي يتكون من خطي أعداد متعامدين في المستوى. ويُحدَّد موقع النقاط في الأشكال الهندسية في المستوى بإعطائها إحداثيين (عددين) على خطي الأعداد س ، ص. ويسمى س الإحداثي السيني وهو يحدد موقع النقطة بالنسبة لمحور س (خط الأعداد الأفقي) بينما يحدِّد ص ويسمى الإحداثي الصادي موقع النقطة بالنسبة لمحور ص (خط الأعداد الرأسي).

وعلى سبيل المثال، فإن الزوج الإحداثي للنقطة أ في الشكل أدناه هو (2، 1). وهذا يعني أن النقطة أ تقع على بعد وحدتين على يمين محور ص وعلى بعد وحدة واحدة فوق محور س مباشرة. وبالإضافة إلى هذا؛ فإن الشكل يظهر نقاطًا أخرى: ب ، جـ ، د، وإحداثياتها. هنالك تقابل أحادي بين نقاط المستوى والأزواج المرتبة (س ، ص) على المحورين الإحداثيين.




ويمكننا وصف الأشكال الهندسية بوساطة الإحداثيات بتكوين معادلات جبرية تمثل النقاط التي تكون تلك الأشكال. فمثلاً المعادلة 2س + ص = 2 لها العديد من الحلول على الصيغة (س ، ص) مثل (-2 ، 6)، (-1،4) ، (0 ، 2) ، (1 ، 0) ، (2 ، -2). وإذا رسمنا هذه النقاط على بيان إحداثي ثم وصَّلنا بينها فسنجدها تقع على خط مستقيم.




ويوضح الشكل السابق رسمًا بيانيًا لحلول المعادلة. أي نقطة (س ، ص) تقع على المستقيم لها إحداثيات تحقق المعادلة 2س + ص = 2، وكذلك أي زوج من الأعداد (س ، ص) يحقق المعادلة يقع على المستقيم. وللأشكال المستوية الأخرى أيضًا معادلاتها الخاصة بها ويمكن رسمها بيانيًا على نظام إحداثي. ومن هذه الأشكال نذكر القطوع المخروطية، وهي أنواع من المنحنيات تنتج عن تقاطع الأشكال المخروطية مع المستويات ومنها الدوائر والقطوع الناقصة والقطوع المكافئة.

[أحمد سعد الدين]

نبذة تاريخية


الأشكال الهندسية الأولى. لا تُعرف بالتحديد البدايات الأولى للهندسة. ولكن تُبيِّن سجلات قدماء المصريين والبابليين أنهم كانوا على دراية ببعض مبادئ الهندسة قبل 5000 عام. ولقد طوَّر المصريون أفكارًا هندسية يمكن استخدامها لإعادة تخطيط حدود الأراضي بعد فيضان النيل السنوي، كما استخدم المصريون أيضًا الهندسة في بناء الأهرام.

انصبَّ اهتمام البابليين ـ مثلهم في ذلك مثل المصريين ـ على التطبيقات العملية للهندسة؛ كطرق القياسات اللازمة في البناء ومسح الأراضي. كان البابليون أيضًا على دراية بالأفكار التي أبانتها لاحقًا نظريات هندسية محدَّدة بما في ذلك نظرية فيثاغورث

[أحمد سعد الدين]

هندسة الإغريق. كان للفيلسوفَيْن الإغريقيَيْن طاليس وفيثاغورث اللذين عاشا خلال القرن السادس قبل الميلاد تأثير كبير في التطور اللاحق في الهندسة. ويرجع الفضل إلى طاليس في تقديم أول برهان استنتاجي لنظرية هندسية. أما فيثاغورث الذي لقب بأبي الرياضيات، فقد أنشأ مدرسة دُرست فيها الرياضيات بتوسع كبير، كما قام بصياغة النظرية التي تحمل اسمه.

وفي القرن الرابع قبل الميلاد أصبح الإغريق أول من درس الرياضيات من منطلق نظري، وليس لمجرد تطبيقاتها العملية. ويرجع هذا التغيير، في التركيز إلى حد كبير، إلى تأثير الفيلسوف الإغريقي أفلاطون وتلاميذه في الأكاديمية. أما إسهام أفلاطون الأكثر ديمومة في الرياضيات فهو إصراره على استخدام الاستدلال الاستنتاجي في إثبات النظريات الهندسية. وقد كان يجادل بضرورة استخدام المنطق بدلاً من الرسومات المحسوسة لإثبات النظريات الهندسية؛ إذ إن الحواس يمكن خداعها. وخلال القرن الرابع قبل الميلاد، وضع الفيلسوف الإغريقي أرسطو، بصورة جلية، الأسس لنظام بدهي للاستدلال الاستنتاجي.

أما عالم الرياضيات الإغريقي القديم الذي يرتبط اسمه أكثر من غيره بالهندسة فهو إقليدس. ففي القرن الرابع قبل الميلاد. قدَّم إقليدس في كتابه العناصر النموذج الكلاسيكي لنظام مسلَّميّ بتعريفه الحدود، وإيراده المسلمات، ثم استخدامه المسلمات لإثبات المئات من النظريات. وخلال القرن الثالث قبل الميلاد؛ اكتشف عالم الرياضيات أرخميدس طرقًا لإيجاد مساحات وحجوم الأشكال المخروطية.



العرب والهندسة. لم يستطع أحد بعد إقليدس الذي دوّن علم الهندسة أن يزيد على هذا العلم شيئًا أساسيًا. غير أن العرب لهم أفضال على الهندسة؛ إذ إنهم اهتموا بها حينما أهملتها الشعوب الأخرى ثم حفظوها من الضياع وناولوها الأوروبيين في زمن باكر.

برع العرب في قضايا الهندسة وشرحوها، فقد عرفوا تسطيح الكرة وألّفوا فيه ومارسوه فنقلوا الخرائط من سطح الكرة إلى السطح المستوي، ومن المسطح المستوي إلى السطح الكرويّ. ولقد كان اهتمام العرب بالناحية العملية من الهندسة أكثر من اهتمامهم بالناحية النظرية. ومن العلماء العرب الذين احتلوا منزلة كبيرة في الهندسة العالم العربي المسلم البيروني (ت440هـ، 1048م) ومن أشهر كتبه، كتاب استخراج الأوتار في الدائرة بخواص الخط المنحني فيها. كما استطاع غياث الدين الكاشي في القرن الخامس عشر الميلادي أن يستخرج نسبة محيط الدائرة إلى قطرها ويحسبها حسابًا دقيقًا.

وفي حساب المثلثات قام العالم العربي المسلم نصير الدين الطوسي (ت 672هـ ، 1272م) بتنظيم المعارف المتعلقة بعلم المثلثات، ثم جعله مستقلاً عن علم الفلك. ولولا العرب لما كان علم المثلثات على ما هو عليه الآن، فإليهم يرجع الفضل في وضعه بشكل علميّ منظم. وممن اشتهر في علم المثلثات أيضًا العالم العربي المسلم أبو عبدالله محمد بن جابر البتاني (ت 317هـ، 929م). وهو أول من وضع جداول للظل التمام. وتبدو مكانة أبي الوفاء البوزجاني (ت 388هـ ، 998م) في المثلثات واضحة، فقد أوجد طريقة لحساب جداول الجيب، وكذلك عرف الصلات في المثلثات.



بدايات الهندسة الحديثة. يمكن إرجاع بدايات الهندسة الحديثة إلى القرن السابع عشر الميلادي، ففي ذلك الوقت ازداد الاتصال بين علماء الرياضيات عما كان عليه في أي وقت منذ أفلاطون، وشرع الفرنسيان رينيه ديكارت وبيير دوفيرما في العمل فيما صار يعرف لاحقًا بالهندسة التحليلية.

ولقد أوضح ديكارت مبادئ الهندسة التحليلية في كتابه الهندسة عام 1637م، بينما كان مدخل فيرما للهندسة أقرب للهندسة التحليلية الحديثة. وبما أن فيرما لم يقم بنشر أعماله فإن معظم الناس يُرجِعون الفضل إلى ديكارت في اكتشاف الهندسة التحليلية.



نهوض الهندسة اللاإقليدية. في مطلع القرن التاسع عشر الميلادي، اكتشف كل من الألماني كارل فريدرك جاوس والمجري يانوس بولياي والروسي نيكولاي لوباتشيفسكي الهندسة اللاإقليدية كلُّ بصورة مستقلة عن الآخر. ففي محاولاتهم لإثبات مسلمة التوازي لإقليدس؛ توصَّل كل منهم لعدم إمكانية تقديم برهان لها. وقدَّم كل واحد منهم الهندسة الزائدية كأول نموذج لهندسة لاإقليدية. وكثيرًا مايُنسب فضل اكتشاف الهندسة الزائدية إلى لوباتشيفسكي نسبة لأبحاثه المنشورة وبخاصة مقالته حول أسس الهندسة (1829م).

ولقد ظلت الهندسة اللاإقليدية خارج إطار الهندسة التقليدية حتى منتصف القرن التاسع عشر الميلادي. ففي ذلك الحين بدأ جورج فريدريك برنارد ريمان معالجة الهندسة اللاإقليدية. وفي محاضرة له عام 1854م، ناقش ريمان فكرة النظر إلى الهندسة على أنها دراسة أشياء غير معينة لأي عدد من الأبعاد في أي عدد من الفضاءات. وقد جعلت نظرته للهندسة دراسة عامة للفضاءات المنحنية نظرية النسبية لأينشتاين أمرًا ممكنًا.

قادت الاكتشافات الرياضية في القرن التاسع عشر الميلادي إلى تطوير مداخل أخرى إلى الهندسة، منها هندسة التحويلات التي تبحث في خصائص الأشكال الهندسية التي تظل ثابتة عندما تتعرض الأشكال إلى تحويلات معيَّنة (تغيير في الموضع). ويُعنى أحد ضروب هندسة التحويلات ويسمى الطوبولوجيا، بدراسة الخصائص الهندسية التي لا تتغير عند تشويه الأشكال أثناء تعرُّضها إلى عمليات الثنْي أو المطِّ أو القولبة. وتستأثر هندسات التحويلات بحيز كبير من النشاط البحثي في الرياضيات

[أحمد سعد الدين]

نَظَرِيَّة المَجمُوعات طريقة لحل مسائل الرياضيات والمنطق (أو الاستنباط). ودراستنا لنظرية المجموعات تزيد فهمنا لعلم الحساب وللرياضيات ككل.

ويعتقد كثير من العلماء أنه في الإمكان استخلاص كل القواعد الرياضية، بما في ذلك نظرية الدوال على سبيل المثال، من نظرية المجموعات، ولذا فإن نظرية المجموعات تعد من الفروع الأساسية لعلم الرياضيات.

والمجموعة تجمُّع من الأشياء المحسوسة أو الأفكار. فمثلاً كل أسرة ما، أو حتى علبة أقلام شمعية، أو قطيع أغنام هي مجموعة من الأشياء المحسوسة، بينما كل من قوانين لعبة ما، أو حتى الأعداد الزوجية من 10 إلى 20 مجموعة من الأفكار. وتسمى الأشياء التي تشكل المجموعة عناصر أو أعضاء المجموعة. فأي قلم شمعي هو عنصر من مجموعة الأقلام الشمعية، والرقم 16 عنصر من مجموعة الأعداد الزوجية من 10 إلى 20.

يستخدم علماء الرياضيات الحروف لتمييز المجموعات وعناصرها. فقد تستعمل حروف لتسمية المجموعات، بينما تستخدم حروف أخرى لتسمية عناصر المجموعات. فالحرف ح مثلا، يمكن أن يرمز إلى ¸مجموعة طلاب الصف الخامس ذوي الشعور المجعَّدة·، بينما ترمز الحروف ك، م، ن لعناصر هذه المجموعة ـ كريم، محمود، نزار. ولذلك نقول إن المجموعة ح تتألف من العناصر كريم، محمود، نزار، ونكتب: ح = { ك، م، ن }. أي أن المجموعة تحدَّد عن طريق حصر عناصرها بين القوسين { }.

وإذا أردنا أنْ نبيَّن أنَّ عنصراً ما موجود في مجموعة معينة، (مثلاً نريد توضيح أن محمودًا عنصر من ح)، فإننا نكتب م ينتمي إلى ح، ويقرأ: "م عنصر من المجموعة ح". أما إذا رغبنا في توضيح أن طارقًا ليس عنصرًا من المجموعة ح فإننا نكتب ط لا تنتمي إلى ح، ويُقرأ: "ط ليس موجوداً في ح". ويمكن أيضاً تحديد مجموعة ما بدلالة خواصها. والخاصية مفهوم يربط عناصر المجموعة بعضها ببعض. ففي المثال أعلاه، للمجموعة ح ثلاث خواص: 1- عناصرها مـن الطــلاب 2-عناصـرها في الصــف الخامــــس 3- عناصرها من ذوي الشعور المجعَّدة. ولتوضيح هذه الخصائص نكتب: ح ={س: س طالب في الصف الخامس وشعره مجعد}، وتقرأ هذه العبارة: ح هو مجموعة الأفراد س حيث س طالب في الصف الخامس. وتمثل النقطتان بين الرمزين س كلمة (حيث).

[أحمد سعد الدين]

أنواع المجموعات
من المهم عند التعامل مع المجموعات أن نقارن مجموعة بمجموعة أخرى. وقد أطلق الرياضيون تسميات لأنواع عدة من المجموعات، وذلك بغرض تصنيفها. وهذه التسميات تتعلق بعدد عناصر المجموعة وبطبيعة علاقة المجموعات فيما بينها.

وهناك عشرة أنواع رئيسية من المجموعات هي: 1- المجموعات المنتهية 2- المجموعات غير المنتهية 3- المجموعات الخالية 4- المجموعات وحيدة العنصر 5- المجموعات المتكافئة 6- المجموعات المتساوية 7- المجموعات المتداخلة 8- المجموعات المنفصلة 9- المجموعات الشاملة 10- المجموعات الجزئية.

وكل مجموعة يمكن أن تكون ضمن واحدة أو أكثر من هذه التسميات. فالمجموعات المتكافئة مثلاً يمكن أن تكون منتهية وتكون أيضاً منفصلة.

[أحمد سعد الدين]

المجموعات المنتهية. هي التي لها عدد محدود من العناصر، فمثلاً "ثلاث قطط" و"ثلاثة آلاف رأس من الماشية" مجموعات منتهية. ولوصف المجموعة المنتهية قليلة العناصر، فإننا نكتب عناصر المجموعة كلها. فمثلاً، إذا كانت ص هي مجموعة الأعداد الطبيعية التي تزيد عن 4 وتقل عن 10، نكتب: ص = { 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9}.

[أحمد سعد الدين]

المجموعات غير المنتهية. هي التي يكون عدد عناصرها غير محدود. فمجموعة الأعداد التي تستخدمها في العد مثلا تشكِّل مجموعة غير منتهية: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 وهكذا بدون توقف. ومن المستحيل كتابة عناصر المجموعة غير المنتهية كلها، ولوصف عناصر مجموعة كهذه نكتب العناصر القليلة الأولى، ثم نضع ثلاث نقاط لتوضيح أن عدد العناصر غير محدود: {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ...}

[أحمد سعد الدين]

المجموعات الخالية. هي التي لاتحتوي على أي عناصر. فمثلاً إذا كانت المجموعات التالية تمثِّل قائمة التلاميذ الغائبين في مدرسة معينة خلال ثلاثة أيام، حيث تغيَّب يوم الإثنين صالح وأحمد، وفي يوم الثلاثاء خالد، وفي يوم الأربعاء لم يتغيب أحد. نلاحظ أن مجموعة الإثنين تحتوي على عنصرين، ومجموعة الثلاثاء تحتوي على عنصر واحد فقط، بينما لاتحتوي مجموعة الأربعاء على أي عنصر. ولذلك فإن مجموعة الأربعاء مجموعة خالية. ولكي نوضِّح أن مجموعة ما خالية، فإننا نترك فراغاً بين قوسيها.

مجموعة الأربعاء = { }

[أحمد سعد الدين]

المجموعات وحيدة العنصر. هي التي تحوي عنصرًا واحداً فقط. فمجموعة الثلاثاء في المثال المتقدم مجموعة وحيدة العنصر؛ مجموعة الثلاثاء = {خالد}.

[أحمد سعد الدين]

المجموعات المتكافئة. هي المجموعات التي لها نفس العدد من العناصر، بمعنى أن كل مجموعتين تكونان متكافئتين إذا أمكن مقابلة عناصرهما عنصراً لعنصر. فمثلاً إذا كان عدد الأدراج في أحد الفصول مساوياً لعدد الطلاب، فإن مجموعة الأدراج مكافئة لمجموعة الطلاب. وفي الشكل التوضيحي أدناه تكون مجموعة الكلاب مكافئة لمجموعة أوجار الكلاب.

ولكي تبين أن أ و ب متكافئتان فإنك تكتب: أ ¶ ب، حيث يعني الرمز ¶ أن هذا مكافئ لذلك. وهذا يشير إلى أن أفراد مجموعة ما يمكن تبادلها مع أفراد المجموعة الأخرى حسب الشكل. ولو كانت لديك خمسة كلاب وأربعة أوجار فإن المجموعتين غير متكافئتين، وعليك أن تكتب الرمز هكذا: أ ¶ ب التي تعني أن أ غير مكافئ لـ ب.

[أحمد سعد الدين]

المجموعات المتساوية. هي التي لها نفس العناصر. فإذا فرضنا أن ح هي مجموعة الطلاب الذين حصلوا على العلامة الكاملة في اختبار الإملاء في مدرسة معينة وكانت:

ح = {رائد، ياسر، محمد، عمر}.

وإذا فرضنا أن ع هي مجموعة الطلاب الذين حصلوا على العلامة الكاملة في اختبار الحساب وكانت:

ع = {عمر، محمد، ياسر، رائد}. عندئذ ح تساوي ع لأن لكل منهما نفس العناصر التي للأخرى. ولتوضيح أنهما متساويتان، نكتب: ح= ع.

[أحمد سعد الدين]

المجموعات المتداخلة. هي التي لها عناصر مشتركة فيما بينها. فبفرض أن الطلبة المثاليين في إحدى المدارس للعام الماضي، هم جمال، وقاسم، وإبراهيم وأن الطلبة المثاليين لهذا العام هم رائد وقاسم وعمر، فإننا نلاحظ أن قاسم ينتمي لمجموعة الطلبة المثاليين في العام الماضي، وكذلك لمجموعة الطلبة المثاليين في هذا العام، أي أن المجموعتين متداخلتان،

[أحمد سعد الدين]

المجموعات المنفصلة. هي التي لاتحتوي على أي عناصر مشتركة فيما بينها والجدول أدناه يبين زوجاً من المجموعات المنفصلة.

[أحمد سعد الدين]

المجموعات الشاملة. هي المجموعات التي تحتوي على جميع العناصر تحت الاختبار في وقت ومسألة معينين، وعادة ما يرمز إليها بالرمز س. فإذا فرضنا في مسألة ما أننا نتعامل فقط مع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 10 ، تكون المجموعة الشاملة هي: س = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10}.

وقد تكون المجموعة الشاملة في مسألة أخرى هي جميع الأعداد الزوجية، وفي حالة ثالثة جميع الطلاب الذين يدرسون العلوم الطبيعية.

[أحمد سعد الدين]

المجموعات الجزئية. هي المتضمَّنَة في مجموعات أخرى. فمجموعة أفراد الشرطة الذين يعملون ليلا، على سبيل المثال، مجموعة جزئية من مجموعة جميع أفراد الشرطة. وفي الشكل أدناه تظهر مجموعتان جزئيتان من مجموعة الأعداد من 1 إلى 10

ولتوضيح أن كلاً من المجموعتين ص، ع مجموعة جزئية من س نكتب:ص C س ، ع C س حيث يعني الرمز C "متضمَّن في". لاحظ أن تحت المجموعتين ص و ع مجموعتين منتهيتين. وهما متكافئتان لأنه يمكن مقابلة عناصرهما عنصراً بعنصر. كما أنهما أيضاً مجموعتان منفصلتان لأنه لايوجد أي عناصر مشتركة تنتمي لكلتا المجموعتين في آن واحد.

[أحمد سعد الدين]

أشكال تمثيل المجموعات
يستخدم علماء الرياضيات أحياناً الأشكال لتوضيح العلاقات ولحل المسائل. ففي القرن الثامن عشر على سبيل المثال، استخدم عالم الرياضيات السويسري ليونهارد أولير الدوائر لأول مرة لتمثيل المجموعات والعلاقات فيما بينها. ثم في العام 1894م تلاه العالم الإنجليزي جون فن الذي أضاف المستطيلات إلى تلك الأشكال. وتُستخدم هذه الأشكال. التي تُسمَّى أشكال فن أو دوائر أولير، في تمثيل المجموعات. ولكن حجم الشكل لايعطي أي دلالة معينة على المجموعة التي يمثلها، إذ قد تمثِّل دائرة معينة مجموعة منتهية أو مجموعة غير منتهية أو حتى مجموعة خالية. كما أن دائرتين بنفس الحجم قد تمثلان مجموعتين مكافئتين أو مجموعتين تختلفان في عدد العناصر. ومن هنا فلا توجد أشكال خاصة بعينها لتمثيل المجموعات المنتهية، أو المجموعات غير المنتهية، أو المجموعات الخالية، أو المجموعات وحيدة العنصر، أو المجموعات المتكافئة.

[أحمد سعد الدين]

شكل تمثيل المجموعات الشاملة. هو مستطيل مميز بالحرف س ويمثل مجموعة جميع العناصر تحت الاعتبار في مسألة معينة. فقد يدل هذا الشكل مثلاً على جميع الأعداد الطبيعية أو جميع شهور السنة أو أية مجموعة شاملة أخرى.

[أحمد سعد الدين]

شكل تمثيل المجموعات الجزئية. هو دائرة مميزة بالحرف الذي يرمز إلى هذه المجموعة الجزئية. فإذا فرضنا أن س هي مجموعة جميع الطلاب في فلسطين مثلاً، وأن المجموعة الجزئية ح هي مجموعة الطلاب في القدس، فإننا نرسم دائرة تمثل المجموعة ح، بحيث تكون هذه الدائرة واقعة كلياً داخل مستطيل المجموعة الشاملة س لأن كل عنصر في ح هو أيضًا عنصر في س




وإذا أردنا أن نبين مجموعة جزئية من ح، فإننا نرسم دائرة أخرى داخل دائرة ح. فإذا كانت ح هي مجموعة طلاب في مدينة القدس، فيكون تمثيل ع في شكل فن السابق

[أحمد سعد الدين]

شكل تمثيل المجموعات المتساوية هو دائرة واحدة مميزة بحرفين أو أكثر، حيث يرمز كل حرف لإحدى المجموعات المتساوية. وتكون الدائرة واحدة فقط، لتبين أن كل مجموعة من هذه المجموعات لها بالضبط نفس العناصر. ويمكننا تخيل الدائرة كدائرتين أو أكثر متطابقة بعضها مع بعض. فمثلاً، لنفرض س هي مجموعة الأعداد من 1 إلى 10، ولتكن ق هي مضاعفات العدد 2 في س، هـ هي الأعداد في س التي تقبل القسمة على 2. إن عناصر هذه المجموعات هي

س = {1، 2، 3 ، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10}

ق = { 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10}

هـ = { 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10}

المجموعتان ق، هـ لهما نفس العناصر، لذلك تُمثَّل كلتاهما بدائرة واحدة

[أحمد سعد الدين]

شكل تمثيل المجموعات المتداخلة. يتكون من دوائر متداخلة. والشكل التالي يبين أن بعض عناصر ص هي أيضًا

عناصر في ع. فإذا كانت س هي مجموعة الطلاب والطالبات في فلسطين وص هي مجموعة الطالبات فقط في فلسطين، بينما ع هي مجموعة طلبة وطالبات مدينة القدس، فإن الجزء المظلل في الشكل يمثل مجموعة الطالبات في مدينة القدس.

[أحمد سعد الدين]

شكل تمثيل المجموعات المنفصلة. يتألف من اثنتين أو أكثر من الدوائر المنفصلة عن بعضها البعض.

فإذا فرضنا أن س هي المجموعة الشاملة كما سبق وكانت ح هي مجموعة الطلاب الذكور في القدس، ق هي مجموعة الطالبات في القدس، فإن كلاً من ح ، ق هي مجموعة جزئية من س. وهما مجموعتان منفصلتان لأنه لايوجد أي عنصر مشترك بينهما.

[أحمد سعد الدين]

العمليات على المجموعات
هناك ثلاث عمليات أساسية تستخدم في حل المسائل المتعلقة بالمجموعات:

1- الاتحاد 2- التقاطع 3- المُتمِّمة.

تقابل هذه العمليات العمليات الحسابية على الأعداد كالجمع والطرح. ففي كل مرة تُجرى عملية على مجموعتين للحصول على مجموعة جديدة. وتطلق الكلمات اتحاد، تقاطع، متمِّمة على العمليات على المجموعات وكذلك على نواتج هذه العمليات.


اتحاد مجموعتين. هو المجموعة التي تتألف عناصرها من عناصر كلتا المجموعتين. ويستخدم لهذه العملية الرمز U حيث نكتب ص U ع ليعني اتحاد المجموعة ص والمجموعة ع ويُقرأ "ص اتحاد ع".



اتحاد مجموعتين منفصلتين. لتكن

ص={1، 2، 3}،

ع ={4، 5}

عندئذ ص U ع = {1، 2، 3، 4، 5}

فاتحاد ص و ع يحتوي على جميع عناصر ص، وعناصر ع. وفي شكل فن، تُمثَّل ص U ع بالجزءين المظللين معاً. لاحظ أن ص تحتوي على ثلاثة عناصر، ع تحتوي على عنصرين، بينما تحتوي ص U ع على خمسة عناصر. وبما أن 5 = 3 + 2، فإن عدد عناصر اتحاد مجموعتين منفصلتين يساوي مجموع عناصر المجموعتين.



اتحاد مجموعتين متداخلتين. لتكن

ح = {فهد، وليد، مريم}

ق= {مريم، حاتم، سالم}


عندئذ تكون ح U ق= { فهد، وليد، مريم، حاتم، سالم}، ويمثل الجزء المظلل في الشكل ح U ق. نلاحظ أن عدد عناصر ح U ق هو خمسة بينما مجموع عدد عناصر ح وعدد عناصر ق هو 3+3=6، أي أن عدد عناصر اتحاد مجموعتين متداخلتين هو دائماً أقل من مجموع عددي عناصرهما.



اتحاد مجموعة ومجموعة جزئية منها:

لتكن هـ= {3 ، 6 ، 9 ، 12}

ف = { 6 ، 12}

عندئذ

هـ U ف = { 3 ، 6 ، 9 ، 12}

وهذا يتضح من المنطقة المظللة في شكل فن والتي تمثل الاتحاد هـ U ف. لذلك فإن اتحاد مجموعة مع مجموعة جزئية منها يساوي دائماً المجموعة نفسها.

[أحمد سعد الدين]

تقاطع مجموعتين. هو المجموعة المؤلفة من العناصر المشتركة بين المجموعتين. فمثلاً، إذا كانت ق = {1، 2، 3} و ك = {2، 3، 4}، فإن تقاطع ق و ك هو مجموعة العناصر الموجودة في كل من ق، ك أي {2 ، 3}.

نستعمل الرمز n لعملية التقاطع. فتقاطع ق، ك هو ق n ك ويُقرأ "ق تقاطع ك".



تقاطع المجموعات المنفصلة هو مجموعة خالية:

فإذا كانت ص={1 ، 2 ، 3}

ع= {4 ، 5}

فإن ص n ع= {}

كما في الشكل

أي أن تقاطع ص ، ع مجموعة خالية لعدم وجود عناصر مشتركة بينهما.



تقاطع المجموعات المتداخلة:

لتكن ب= {محمد، فاطمة، صالح}

ح ={عمر، على، فاطمة}

عندئذ ب n ح = { فاطمة}


وبما أن فاطمة هي العنصر المشترك الوحيد بين المجموعتين ب و ح، فإن تقاطع ب و ح هو مجموعة وحيدة العنصر هي {فاطمة} ويمثلها الجزء المظلل من شكل فن أعلاه.



تقاطع مجموعة ومجموعة جزئية منها:

لتكن ف= {12، 9، 6 ، 3}

ق= {6 ، 12}

عندئذ ف n ق= {6 ، 12}= ق لأن العناصر المشتركة بين ف و ق هي عناصر ق فقط. والجزء المظلل من شكل فن يمثل ف n ق، وهذا الجزء مطابق للدائرة التي تمثل المجموعة ق، لذلك فالتقاطع يساوي ق.

[أحمد سعد الدين]

مُتمِّمة مجموعة. هي مجموعة العناصر في س التي لاتوجد في المجموعة ص.

فإذا كانت ص أي مجموعة جزئية من س فإن متممة ص هي عناصر س التي لاتوجد في ص. ويمثل الجزء المظلل في شكل فن متممة ص. ونرمز عادة لمتممة ص بالرمز ص. فمثلاً لنفرض:

س = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5}

ص = { 2، 3، 4}

عندئذ ص = {1 ، 5}.

لأن 1 ، 5 هي فقط العناصر التي في س وليست في ص كما هو موضح في شكل فن.

[أحمد سعد الدين]

استخدامات نظرية المجموعات

في الحساب. تساعد نظرية المجموعات على فهم بعض المفاهيم الأساسية في التعامل مع الأعداد. فمثلاً، يمكن ربط مفهوم العدد بمقابلة عناصر مجموعتين متكافئتين عنصراً بعنصر.




حيث نلاحظ أن س تكافئ ص. ومع أن عناصر س تختلف عن عناصر ص، إلاَّ أنَّ هناك شيئاً مشتركاً بينهما، وهذا الشيء هو عدد العناصر في كل منهما. ويميز العدد رمزياً باستخدام الأرقام. فالرقم 4 مثلا، يرمز للعدد أربعة وهو عدد عناصر كل من المجموعتين س، ص. وقبل أن يعرف الإنسان كيف يَعُدُّ، كان يستخدم تكافؤ المجموعات ـ بدون أن يدرك ذلك ـ في حساب ممتلكاته. انظر: أنظمة الأعداد.

وتفسِّر نظرية المجموعات أيضًا لماذا يمكننا جمع أو ضرب الأعداد بأي ترتيب نريد لنحصل على الجواب نفسه، فمثلاً، 2+3 يساوي 3+2.

والجمع في الحساب يقابل في المجموعات اتحاد مجموعات منفصلة. فمثلاً لتفسير 2+3 و 3+2 عن طريق نظرية المجموعات نفرض أن




تبين الأسهم أن كلاً من ج n ق و ق n ج لهما العدد نفسه من العناصر، ولذلك فإن 2+3 يساوي 3+2. ويعبِّر علماء الرياضيات عن ذلك بقولهم إن الجمع عملية إبدالية، أي أن الترتيب غير مهم، حيث يمكن جمع الأعداد مع بعضها البعض بأي ترتيب للحصول على جواب واحد. كما يستخدم علماء الرياضيات نظرية المجموعات لشرح خواص أخرى للعمليات الحسابية.

[أحمد سعد الدين]

في الجبر. تلعب المجموعات دوراً مهماً في نواحٍ عدة. فإذا اعتبرنا في مسألة معينة أن الحرف س يرمز لأي من الأعداد من 1 إلى 10 فإننا نسمِّيه متغيرًا، كما نُسمِّي مجموعة الأعداد من 1 إلى 10 نطاق المتغير. ونقصد بحل المسألة إيجاد جميع الأعداد في النطاق، والتي عند التعويض بها عن المتغير س في المسألة نحصل على جملة صحيحة، كما نسمي هذه القيمة مجموعة الحل.

لنفرض في مسألة معينة أن نطاق س هو المجموعة ش= {4 ، 5 ، 6، 7 ، 8 ، 9} وأن المطلوب إيجاد قيم س التي تحقق الشرط: س يقبل القسمة على 2. لحل هذه المسألة، يُقسَّم كل عدد في النطاق س على 2، فنجد أن الأعداد 4، 6، 8 تقبل القسمة على 2 أما الأعداد 5، 7، 9 لا تقبل القسمة على 2. لذلك فإن مجموعة الحل هي {4، 6، 8}. وتعتمد مجموعة الحل لأي مسألة على طبيعة المسألة، ويمكن أن تكون منتهية أو غير منتهية.

ويمكننا أيضًا استعمال العمليات على المجموعات، كالاتحاد والتقاطع، لفهم وحل مسائل جبرية معينة. فمثلاً، افرض أن نطاق س هو ش = {4، 5، 6، 7، 8، 9} والمطلوب إيجاد قيم س التي تحقق واحدًا من الشرطين: (1) س تقبل القسمة على 2، أو (2) س تقبل القسمة على3. نلاحظ أن الشرط (1) متحقق لقيمة 4، 6، 8 أي أن مجموعة حل الشرط(1) هي ص = {4، 6، 8}. أما بالنسبة للشرط (2) فإن مجموعة الحل هي ع = {6، 9}. وحيث إننا نبحث عن القيم التي تحقق الشرط (1) أو الشرط (2)، فإن هذه القيم هي اتحاد مجموعة حل (1) ومجموعة حل (2) أي أن مجموعة القيم المطلوبة هي: ص U ع = {4، 6، 8، 9} والشكل أدناه يوضح ذلك.




عندما نستبدل الرابط (أو) في المسألة السابقة بالرابط (و)، فإن مجموعة الحل هي قيم س التي تحقق الشرطين (1) و (2) معاً، أي هي المجموعة {6} والتي تساوي تقاطع ص و ع، كما هو موضح بالشكل التالي.

[أحمد سعد الدين]

في الهندسة. المجموعات قيد البحث هي مجموعات من النقاط. والشكل أدناه يبين مجموعة من نقطتين أ،ب حيث مثلنا كل نقطة بدائرة سوداء صغيرة.




وعندما نصل بين هاتين النقطتين نحصل على قطعة مستقيمة نرمز لها بالرمز أ ب ونُسمِّي أ،ب نهايتي هذه القطعة المستقيمة. ويمكننا الحصول على نقاط كثيرة أخرى على هذه القطعة المستقيمة نفسها مثل ج، د، هـ ... إلخ، لتلك القطعة المستقيمة أ ب والتي تتألف من النقطتين أ، ب وجميع النقاط الواقعة بينهما.




أيضاً يمكن بطريقة مماثلة اعتبار مجموعة النقاط على ظهر صفحة من الورق أو على حائط أو أي سطح منبسط. وإذا تخيلنا سطحاً منبسطاً يمتد بلاحدود بين كل اتجاه نحصل على مستوى، وفي هذا المستوى، يمكننا رسم منحنيات مغلقة بسيطة، وذلك بأن نبدأ من أي نقطة في المستوي برسم أي مسار، ثم نعود إلى النقطة نفسها بدون أن نرفع القلم عن المستوي وبدون أن يقطع المنحنى نفسه.

ومن الأمثلة على المنحنيات المغلقة البسيطة، الدوائر والمربعات والمثلثات. فالدائرة منحنى بسيط مغلق، ولكن نصف الدائرة ليست كذلك.

يقسم المنحنى البسيط المغلق المستوى إلى ثلاث مجموعات منفصلة من النقاط: 1- مجموعة النقاط الواقعة خارج المنحنى، 2- مجموعة النقاط الواقعة داخل المنحنى، 3- مجموعة النقاط الواقعة على المنحنى.

تُسمَّى مجموعة النقاط الواقعة داخل منحنى بسيط مغلق المنطقة،أما مجموعة النقاط الواقعة على المنحنى فتُسمَّى حدود المنطقة والمجموعتان معًا يشكلان منطقة مغلقة.



في الشكل التالي، النقطة أ تنتمي إلى مجموعة نقاط حدود المنطقة. أما النقطة ب فهي تنتمي إلى مجموعة النقاط داخل الدائرة بينما النقطة ج تنتمي إلى مجموعة النقاط الواقعة خارج الدائرة.

ويمكن استخدام عمليتي الاتحاد والتقاطع لوصف العلاقة بين الأشكال الهندسية. في الشكل أدناه، القطعتان المستقيمتان ج د، هـ و تتقاطعان في النقطة ر، وبلغة المجموعات فإننا نقول أن {ر} هي تقاطع مجموعة نقاط جـ د، ومجموعة نقاط و هـ، ونكتب: ج د n هـ و = {ر}




وفي الشكل التالي، تتألف القطعة المستقيمة ق ل من القطعتين المستقيمتين ق ك ، ك ل ويمكننا التعبير عن ذلك كما يلي: ق ك U ك ل = ق ل.

[أحمد سعد الدين]

في المنطق. تساعد نظرية المجموعات في الحصول على استنتاجات مبنية على معطيات نسميها المقدمات المنطقية. وسنعرض فيما يلي كيفية توظيف نظرية المجموعات لاستنباط ثلاث نتائج منطقية بسيطة. سنفرض خلال الأمثلة الثلاثة أن المجموعة الشاملة هي طالبات مدرسة ابتدائية معينة.



مثال 1- المقدمة المنطقية الأولى: جميع طالبات المستوى الرابع يحفظن جدول الضرب، المقدمة المنطقية الثانية: أمل في الصف الرابع. والاستنتاج: أمل تحفظ جدول الضرب. لنرمز لمجموعة الطالبات اللاتي يحفظن جدول الضرب في المدرسة بالرمز ص. ولنرمز لمجموعة الطالبات في الصف الرابع بالرمز ع. من المقدمة المنطقية الأولى نستنتج أن ع مجموعة جزئية من ص. ولكن أمل عنصر في ع وبالتالي ص، أي أن أمل تحفظ جدول الضرب.



مثال 2- المقدمة المنطقية الأولى: بعض الطالبات في الصف الخامس يأخذن دروسًا إضافية. المقدمة المنطقية الثانية: هيفاء في الصف الخامس. والاستنتاج: قد تكون هيفاء تأخذ دروسًا إضافية أو قد لا تكون.

لتكن ح هي مجموعة الطالبات اللاتي يأخذن دروساً إضافية، وق مجموعة الطالبات في الصف الخامس. من المقدمة المنطقية، فإن بعضاً من عناصر ق تنتمي للمجموعة ح. لذلك فالمجموعتان متداخلتان وتقاطعهما هو مجموعة الطالبات في الصف الخامس اللاتي يأخذن دروسًا إضافية. وتفيدنا المقدمة المنطقية الثانية أن هيفاء عنصر في ق ولكن لاتفيدنا هل هيفاء موجودة في ح أم لا، وعليه فإن هيفاء قد تكون ممن يأخذن دروسًا إضافية وقد لا تكون كذلك.



مثال 3- لتكن المقدمة المنطقية الأولى: طالبات الصف الثالث لا يشاركن في النشاط الاجتماعي، المقدمة المنطقية الثانية: هند في الصف الثالث. فيكون الاستنتاج: هند لا تشارك في النشاط الاجتماعي. لنفرض ف مجموعة طالبات الصف الثالث، ولتكن هـ هي مجموعة الطالبات المشاركات في النشاط الاجتماعي. من المقدمة المنطقية الثانية فإن هندًا عنصر في ف ومن المقدمة المنطقية الأولى نستنتج أن ف ، هـ مجموعتان منفصلتان، أي لايوجد عناصر في ف تكون في ه. وبالتالي فإن هندًا ليست عنصراً في هـ، أي أن هندًا لاتشارك في النشاط الاجتماعي.

[أحمد سعد الدين]

نبذة تاريخية
تطورت نظرية المجموعات نتيجة لنشوء مفهومين رياضيين جديدين خلال القرن التاسع عشر الميلادي، وهما المنطق الرمزي والمجموعات المجردة.

والمنطق الرمزي يعالج طرق استخدام الأنظمة والعمليات الرياضية في حل مسائل المنطق. ويعتبر عالم الرياضيات الإنجليزي جورج بول (1815-1864م) واضع أسس هذا العلم في العقد الخامس من القرن التاسع عشر الميلادي.

وفي العقد الثامن من القرن التاسع عشر الميلادي، استخدم عالم الرياضيات الألماني جورج كانتور (1845 - 1918م)، بعض أساليب المنطق الرمزي في دراسة المجموعات العددية. وقد طور من خلال ذلك نظاماً رياضياً سماه نظرية المجموعات، وكان الحافز له في ذلك رغبته في دراسة الخواص الجبرية للمجموعات غير المنتهية. فعلى سبيل المثال، أوضح كانتور كيف يمكن مقابلة عناصر مجموعتين متكافئتين وغير منتهيتين، عنصراً بعنصر. فمثلاً يمكن مقابلة مجموعة الأعداد الطبيعية مع مجموعة الأعداد الزوجية عنصراً بعنصر كما يلي.




حيث نلاحظ أن كلاً من المجموعتين غير منتهيتين. وهما متكافئتان، ومع ذلك فإن المجموعة الثانية مجموعة جزئية من الأولى وغير مساوية لها. وفي خلال العقدين السادس والسابع من القرن العشرين، أدرك علماء الرياضيات وخبراء التعليم أهمية المفاهيم المضمَّنة في نظرية المجموعات، في مساعدة طلاب التعليم العام على فهم أساسيات الحساب والرياضيات، فأصبحت مبادئ نظرية المجموعات جزءًا أساسيًاً مما يُسمَّى الرياضيات الحديثة. فباستخدام المجموعات يمكن للطلاب أن يستوعبوا مفاهيم أساسية مثل العدد والرقم، كما يمكنهم أيضاً توظيف المجموعات في المسائل المنطقية.

وفي وقتنا الحاضر لا يزال علماء الرياضيات وخبراء التعليم يؤكدون على أهمية الرياضيات الحديثة. ولكنهم مع ذلك لايغفلون التركيز على المهارات الأساسية في الحساب وطرق حل المسائل.

[أحمد سعد الدين]

تمارين على نظرية المجموعات
1- إذا كان ص ={ 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9}

ع ={ 4 ، 6 ، 8 ، 10} اكتب عناصر ص U ع.

2- اكتب عناصر

ق={س: س عدد فردي أكبر من 11 وأقل من 22}.

3- إذا كان ح ={ عوامل العدد 6}، هـ={عوامل العدد 12}. اكتب عناصر ح n هـ.

4- أوجد اتحاد وتقاطع كل زوج من المجموعات التالية:

ص ={50 ، 25 ، 165 }

ع ={ 50 ، 33 ، 25 ، 20 }

ف ={1 ، 3، 5 ، 7}، ك={ 2 ، 4 ، 6 ،8}.

5- أوجد المجموعات المتساوية فيما يلي:

{ أ د ب، ج، د}،{ 1 ، 2 ، 3 ، 4}،

{ أحمد ، خالد، سعد}،{4، 2 ، 3 ،1}.

6- أوجد فيما يلي المجموعات المتكافئة فيما بينها:

{قطة، كلب، ثعلب}،{ أ، ب، جـ، د}

{قطة، ديك، غزال، أسد}،{3 ، 6 ، 9}.

7- إذا كانت ص هي {مجموعة الأعداد الطبيعية} فاكتب عناصر ص.

8- ارسم شكل فن للمسألة التالية:

إذا كانت ش ={ 1 ، 2 ، 3 ، 4، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9}، أوجد قيم س التي تحقق الشرطين التاليين {س: س عدد فردي}. ع ={س: س يقبل القسمة على 3}.

9- ارسم شكل فن الذي يمثل المسألة المنطقية التالية: جميع الطيور تبيض، العصافير من الطيور، العصافير تبيض.

10- إذا كانت ش={مربع، مستطيل، دائرة، مثلث}

ق={ دائرة}، فأوجد عناصر ق.


الأجوبـة
1- ص Uع ={ 3 ،4 ،5 ،6 ، 7 ،8 ،9 ،10}.

2- ق ={13 ، 15، 17، 19، 21}.

3- ح n هـ{1، 2، 3 ،}.

4- ح U هـ ={1، 2 ،3 6}.

5-{ 1، 2، 3 ،4}={ 4، 3، 2 ،1}.

6- المجموعة الأولى تكافئ الرابعة، المجموعة الثانية تكافئ الثالثة.

7-{ 1، 2، 3، 4، 5، ...}.




10-قَ ={مربع، مستطيل، مثلث}.

[أحمد سعد الدين]

العَامل الحسابي أي عدد من الأعداد التي إذا ضرب بعضها في بعض تعطي العددَ الأصلي. فمثلاً، الأعداد 3 و 4 هي عوامل لـ 12 لأن 3 × 4 = 12. والعوامل الصحيحة الأخرى للعدد 12 هي 2 و6 ، والعددان، 1 و12. ويزودنا تحديد العوامل بفهم أعمق لواحد من العلاقات الكبيرة بين الأعداد.

وكل عدد صحيح، فيما عدا الواحد، يمكن تقديره كحاصل ضرب عاملين على الأقل. والعدد الذي له عاملان مختلفان فقط ـ العدد نفسه والعدد واحد ـ يُسمى عددًا أوليا أو عددًا أصَمّ. فالعدد 7 عدد أوَّلي لأن عامِلَيْهِ هما العدد 1 والعدد 7 فقط. وأصغر الأعداد الأولية الثمانية هي 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، و19. والعدد الذي له أكثر من عاملين يسمّى عددًا غير أولي. فالعدد 4 عدد غير أولي لأن له ثلاثة عوامل هي : 1، 2، 4. أصغر الأعداد غير الأولية الثمانية هي 4 ، 6 ، 8 ، 9 ، 10 ، 12 ، 14، 15. والعدد واحد ليس عددًا أوليّا أو غير أولي.


العوامل الأولية. هي الأعداد الأولية التي إذا ضُربت في بعضها ينتج العدد. وكل عدد هو ناتج مجموعة واحدة فقط من الأعداد الأولية . فمثلا، 24 يمكن تقديرُه كحاصل ضرب أعداد أولية هي 2 × 2 × 2 × 3، والعوامل الأولية للعدد 24 هي 2 و 3.

وللحصول على العامل الأولي لأي عدد، قسِّم العدد على أي عدد أوَّلي يدخل فيه بالتساوي. ومن الأسهل عادة أن تَستخدم أصغر عدد أولي يُقسِّم العدد بالتساوي. مثلا، لكي تحصل علي العوامل الأولية للعدد 220 تبدأ بالتقسيم على 2 (220 ÷ 2 = 110).

واصل تقسيم خارج القسمة على 2 إلى أن يستحيل تقسيمه على 2 (110 ÷ 2 = 55) ، فالعدد 55 لا يمكن تقسيمه على 2 بدون باق. كذلك العامل التالي، 3 لا يمكن تقسيم 55 عليه بدون باق. غير أن العامل الأولي الأكبر، 5 يمكن أن يقسم 55 عليه بدون باق (55 ÷ 5 = 11). والعدد 11 ، مثل 2 و 5 عدد أولي. إذن فالتحليل الأولي للعدد 220 هو 2 × 2× 5 × 11، والعوامل الأولية هي 2 ، 5 ، 11. ويعتبر حاصل ضرب 2 × 2 × 5 × 11 (بأي ترتيب) هو الطريقة الوحيدة التي يمكن بها تقدير العدد 220 كحاصل ضرب الأعداد الأولية. وهذه العملية يمكن بيانها كما يلي :


والعوامل الوحيدة لأي عدد أوَّلي هي العدد نفسه والعدد واحد.



العواملُ المشتركة . عندما يكون عدد ما عاملاً لاثنين أو أكثر من الأعداد، فإنه يُسمَىَّ العامل المشترك، ويسمى أكبرها العامل المشترك الأكبر وهو أيضًا القاسم المُشتَرك الأكبر، حيث إن عامل أي عدد هو أيضًا قاسم ذلك العدد. فالعددان 30 ، 45، مثلا، لهما أربعة عوامل مشتركة : 1 ، 3 ، 5 ، 15 ، والعامل المشترك الأكبر هو 15. ولكي تحصل على العامل المشترك الأكبر لعددين أو أكثر، عليك أولا الحصول علي مجموعة كل العوامل لكل عدد . ثم بعد ذلك اختر أكبر عامل يوجد في كل المجموعات

فالعامل المشترك الأكبر للأعداد 18 ، 30 ، 42 في هذا المثال هي كما يلي :

العدد مجموعة العوامل
18 18,9,6,3,2,1
30 30,15,10,6,5,3,2,1
42 42,21,14,7,6,3,2,1

العدد 6 هو العامل المشترك الأكبر بين كل المجموعات، إذن فالعدد 6 هو العامل المشترك الأكبر للأعداد 18، 30، 42.


الأعداد الأولية المُرتَبطَة. يطلق على أي عددين ليس بينهما عوامل مشتركة بخلاف الواحد، أعداد أولية مرتبطة أو أعداد أولية بالنسبة لبعضها بعضًا، فمثلا ، عوامل 12 هي :

1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12

وعوامل 35 هي : 1 ، 5 ، 7 ، 35 .

والعددان 12 و 35 ليس بينهما عوامل مشتركة غير الواحد . ولذلك، يقال: إنها أعداد أولية مرتبطة .



العوامل الجبرية. المقادير الجبرية (2س + 4 هو مقدار جبري) أيضًا لها عوامل ، فمثلا : 1 ، 3 ، أ ، ب ، أ ب عوامل لـ (3 أب). والمقادير 1 ، أ ، أ²، ب ، أ²ب هي عوامل لـ أ² ب. وتحصل على عوامل المقادير الجبرية بنفس الطريقة التي تتم بالنسبة للأعداد الصحيحة . فضرب، أ ب × (أ² + ب²) يعطي 2 أ ب + 4 أب² ، إذن 2 أب و2 ب هي عوامـل لـ 2 أ² ب× 4 أب². العوامل الأخرى لـ 2أ²ب + 4 أب²هي 1 ، 2 ، أ ، ب ، أب.

المقدار أ²+ ب² لا يمكن تحليله إلى عوامل باستخدام أعداد حقيقية فقط . إذ أن عوامله أعداد مركبة . والعدد المركب هو المجموع الكُليِّ لعدد حقيقي وعدد تخيُّلي ، أي الجَذْر التَّربيعي لعدد سَالب.

[أحمد سعد الدين]

التّناسب علاقة تكافؤ بين نسبتين. مثلاً المعادلة أ/ب=ج/د هي نسبة. ذلك أن المعادلة تقول إن (أ) ينتسب إلى (ب) بالطريقة نفسها التي ينتسب بها ج إلى د. ومن الممكن كتابة المعادلة أيضًا كما يلي أ:ب =ج:د، ولذلك يقال عن النسب المتكافئة إنها متناسبة.

وفى التناسب أ/ب=ج/د ، يسمى (أ) الحد الأول و(ب) الحد الثاني، و(ج) الحد الثالث و(د) الحد الرابع. ويسمى الحدان الأول والرابع حدي التناسب، والثاني والثالث وسطي التناسب. وفي كل النسب يأتي حاصل ضرب الوسطين مساويًا لحاصل ضرب الحدين. وبناءً على ذلك يصح في النسبة أ/ب=ج/د أن يكون أ × د= ب× ج. وتعطينا هذه الخاصية للنسب الطريقة الإجرائية لإيجاد الحد غير المعلوم في نسبة تكون الحدود الثلاثة الباقية منها معلومة لدينا. فمثلاً، الحد غير المعلوم لدينا في التناسب 9/3=15/س يمكن التوصل إليه بحل المعادلة كما يلي:

9 × س = 3 × 15
9س = 3 × 15
9س = 45
س = 5

وعندما تكون لدينا نسبتان متناسبتان، فيمكننا ضرب إحدى النسبتين بعدد معين للتوصل إلى النسبة الأخرى، ففى النسبة: 2/4=4/8 مثلا يمكننا ضرب حدي النسبة 2/4 بالعدد 2 لنتوصل إلى 4/8.

وكل النسب التي يعبر عنها بأعداد متناسبة مع بعضها بعضًا تساوي العدد نفسه. ويسمى هذا العدد ثابت التناسب. مثلا، نسبة المحيط (م) إلى القطر (ق) في أية دائرة، متناسبة مع النسبة نفسها لأية دائرة أخرى. وكل نسب م/ق تساوى 3,14159. ويعرف هذا التناسب الثابت باسم باي.

وفكرة النسبة هى أساس كثير من قوانين علوم الفلك، والأحياء ، والكيمياء، والفيزياء. ويحتوى كثير من القوانين علي ثوابت نسبية مشهورة. وتستخدم فكرة التناسب أيضًا فى العلوم الاجتماعية والفنون. ويستخدمها المعماريون في تصميم النماذج المجسمة وفي رسم خرائط المباني.

[أحمد سعد الدين]

المتوالية في الرياضيات سلسلة من الأرقام المترابطة أو الرموز تسمى الحدود. والأمثلة التالية تحدد ثلاثة أنواع شائعة من المتواليات.

المتوالية الحسابية 1، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 وهكذا.
المتوالية الهندسية 0 ، 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 وهكذا.
المتوالية التوافقية 1/2، 1/4، 1/6، 1/8 وهكذا.

وفي كل من هذه المتواليات، تتكون الحدود التالية للحد الأول بطرق مختلفة تُسمَّى الفارق المشترك، أو أساس المتوالية. ويتكون كل حد في المتوالية العددية بإضافة كمية ثابتة إلى الحد الأسبق. وفي المثال الفارق المشترك هو واحد. ويتكون كل حد في المتوالية الهندسية، بضرب الحد الأسبق في كمية تسمى النسبة المشتركة. (أساس المتوالية الهندسية) وفي المثال، النسبة المشتركة هي 2. أما في المتوالية التوافقية فكل حد هو كسر اعتيادي، والبسط فيه قيمته واحد. والمقام يتكون بنفس طريقة المتوالية العددية، وفي المثال الفارق المشترك للمقام هو 2.

والمتواليات مفيدة في حل كثير من المشاكل في العلم ومجال الأعمال. فمثلا تُسهل المتواليات حساب الفائدة المركبة
وقد طور علماء الرياضيات صيغًا لإيجاد قيمة أي حد في المتوالية ولإيجاد مجموع أي عدد من الحدود.

[أحمد سعد الدين]

المتوالية الحسابية. قد يكون للمتوالية الحسابية أكثر من حد أول، وأكثر من فارق مشترك. ويتضح ذلك في الأمثلة التالية:

رقم المثال الحد الأول الفارق المشترك المتوالية الحسابية
أ 2 3 2، 5، 8، 11، 14، 17
ب 3 -2 3، 1، -1، -3، -5.
جـ 1 1/2 1، 1/2 1 ، 2 ، 1/2 2 ، 3.
د س ص س،س+ص، س+2ص، س+ 3ص.



ففي المثال أ قيمة الحد الرابع 11 أي تُساوي 2 + 3 + 3 + 3. ويمكن كتابتها بالشكل الآتي 2+(4- 1) 3. ويمكن إيجاد قيمة أي حد بجمع الأول مع حاصل ضرب الفرق المشترك في عدد الحدود ناقص واحد. والحد الأخير أو المجهول هو لن

ل ن = أ + (ن -1) د

ومجموع الحدود الستة الأولى للمثال هي:

2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 57. لاحظ أن مجموع الحد الأول والحد الأخير 19، وكذلك مجموع الحد الثاني والحد الخامس 5 + 14 = 19 ومجموع الحد الثالث والرابع هو 8 + 11 = 19 ومجموع الحدود الستة 57، وهو مايساوي 19× 3 أو ثلاثة أضعاف الحد الأول والأخير. وعموماً فإن مجموع أي عدد من الحدود للمتوالية الحسابية، هو نصف عدد الحدود مضروباً في مجموع الحدين الأول والأخير. فإذا استخدمنا الرمز من لمجموع الحدود، تكون المعادلة المطلوبة:

من = ن/2 م ن= ( أ + ل ن )

[أحمد سعد الدين]

المتوالية الهندسية. يمكن أن يتنوع فيها الحد الأول والنسبة المشتركة (أساس المتوالية) كما يتضح في المثال الآتى:

مثال: الحد الأول النسبة المشتركة المتوالية الهندسية
أ 2 3 2، 6، 18، 54، 162 . .
ب 1 1/2 1، 1/2، 1/4، 1/8، 1/16
جـ أ س أ ، أس، أس²، أس§



ويبين المثال ج أن قيمة أي حد مجهول = أ سن -¥ والأس ن-1، يعني أن س تُستخدم عاملاً ن-1 مرة. وباستخدام هذه المعادلة يمكن حساب الحد السادس في المثال كالآتي:

ل6 =2(3)¹ = 2 × 3 × 3 × 3× 3× 3 = 486

كما أن مجموع أي عدد من الحدود يمكن حسابه بالمعادلة

من = (أ- أ سن) / (أ - س)

فمثلاً مجموع الحدود الأربعة الأولى من المثال أ ُتُحسب كالآتي:

م4= [2-2(3) ¨] / (1-3) = (2-162) / -2 = 80

فإذا كانت س أقل من واحد صحيح، فإن مجموع عدد لانهائي من الحدود يقترب من النهاية أ/ (1- س).

[أحمد سعد الدين]

Cubic Equations

[أحمد سعد الدين]

General cubic equation

The general cubic equation is

A x3 + B x2 + C x + D = 0

The coefficients A, B, C, D are real or complex numbers with A not 0. Dividing through by A, the equation comes to the form

x3 + b x2 + c x + d = 0

[أحمد سعد الدين]

The quadratic term disappears


Now we want to reduce the last equation by the substitution

x = y + r

The cubic equation becomes:

(y + r)3 + b (y + r)2 + c (y + r) + d = 0
<=>
y3 + (3 r + b) y2 + (3 r2 + 2 r b + c) y + r3 + r2 b + r c + d = 0

Now we choose y such that the quadratic term disappears

choose r = -b/3

So, with te substitution

b
x = y - -
3
the equation

x3 + b x2 + c x + d = 0

comes in the form

y3 + e y + f = 0

[أحمد سعد الدين]

Vieta's substitution


tr vieta-substitution To reduce the last equation we use the Vieta subtitition

1
y = z + s -
z

The constant s is an undefined constant for the present.
The equation

y3 + e y + f = 0
becomes

s
(z + -)3 + e (z + (s/z)) + f = 0
z

expanding an multiplying through by z3 , we have

z6 + (3 s + e) z4 + f z3 + s (3 s + e) z2 + s3 = 0

Now we choose s = -e/3.
The equation becomes

z6 + f z3 - e3/27 = 0

With z3 = u

u2 + f u -e3/27 = 0


This is an easy to solve quadratic equation.

[أحمد سعد الدين]

Summing up


The general cubic equation is

A x3 + B x2 + C x + D = 0

The coefficients A, B, C, D are real or complex numbers with A not 0. Dividing through by A, the equation comes to the form

x3 + b x2 + c x + d = 0

With te substitution

b
x = y - -
3
comes

y3 + e y + f = 0

To reduce the last equation we use the Vieta subtitition

e
y = z - ---
3 z

The equation becomes

z6 + f z3 - e3/27 = 0

With z3 = u

u2 + f u - e3/27 = 0

This is an easy to solve quadratic equation.

[أحمد سعد الدين]

Example


Solve

45 x3 + 24 x2 - 7 x - 2 = 0

<=>
3 8 2 7 2
x + -- x - -- x - -- = 0
15 45 45

With te substitution

8
x = y - ---
45
comes

3 169 506
y - --- y - ----- = 0
675 91125

Now we leave the fractional notation


<=> y3 - 0.25037037037 y - 5.55281207133e-3 = 0

To reduce the last equation we use the Vieta subtitition
0.0837901235
y = z + ---------------
z
Then we have

z6 - 5.55281207133e-3 z3 + 5.81279532442e-4 = 0

With z3 = u

u2 - 5.55281207133e-3 u + 5.81279532442e-4 = 0

The solutions for u are

u1 = 2.77640603567e-3 + 0.0239493444997 i and

u2 = 2.77640603567e-3 - 0.0239493444997 i

Each solution yields three values of z. To calculate these values, we bring the u-values in polar form.

u1 = 0.024109739369 (cos(1.45538324457) + i sin(1.45538324457))

u2 = 0.024109739369 (cos(1.45538324457) - i sin(1.45538324457))

The six values of z are in polar form

z1 = 0.288888888889 (cos(0.48512774819) + i sin (0.48512774819) )
z2 = 0.288888888889 (cos(2.57952285058) + i sin (2.57952285058) )
z3 = 0.288888888889 (cos(-1.6092673542) + i sin (-1.6092673542) )
z4 = 0.288888888889 (cos(0.48512774819) - i sin (0.48512774819) )
z5 = 0.288888888889 (cos(2.57952285058) - i sin (2.57952285058) )
z6 = 0.288888888889 (cos(-1.6092673542) - i sin (-1.6092673542) )

With
0.0837901235
y = z + ---------------
z

we find three real y-values

y1 = 0.511111111112
y2 = - 0.488888888888
y3 = - 0.022222222221

Finaly, with te substitution

8
x = y - ---
45

we find the three roots of the given equation
x1 = 0.333333333334

x2 = -0.666666666666

x3 = -0.199999999999

The exact roots are

x1 = 1/3

x2 = -2/3

x3 = 1/5

[أحمد سعد الدين]

الاحتكاك


خاصية للأجسام تجعل الواحد منها يقاوم تحريكه فوق الآخر. فإذا وضعنا جسمين لهما سطحان مستويان، أحدهما فوق الآخر، فإن الجسم العلوي يمكن رفعه دون أي مقاومة إلا من تلك الخاصة بالجاذبية الأرضيَّة. ولكن إذا دفِع جسم ما أو جذب نحو سطح الآخَر، فهناك مقاومة سببها الاحتكاك.

وللاحتكاك فوائد مهمة؛ فهو يجعل عجلات القاطرة تمسك بقضبان السكك الحديدية. وهو يسمح للسير النَّاقل بأن يدير البكرة دون انزلاق. وأنت لاتستطيع السير دون الاحتكاك لتمنع حذاءك من التزحلق على الرصيف. ولهذا فمن الصعب السير على الجليد؛ حيث إن السطح الأملس يسبب احتكاكاً أقل من الرصيف، وبذلك يسمح للحذاء بالانزلاق.

كما أن للاحتكاك مساوئ؛ فالزيت وسوائل التَّزليق تُستخدم لملء الفراغات الموجودة بين أجزاء الآلة. والسائل يُقلل الاحتكاك، ويجعل الأجزاء تتحرك بسهولة أكثر مُنتجةً حرارة أقلّ.


أنواع الاحتكاك. توجد ثلاثة أنواع من الاحتكاك: الاحتكاك الانزلاقي أو الحَرَكيّ، وينتج عندما ينزلق سطحان أحدهما يلامس الآخر، مثلما يحدث عندما يتحرك كتاب فوق منضدة؛ والاحتكاك الدحروجي أو الدروجي، وهو المقاومة الناتجة عندما يتحرك الجسم المتدحرج فوق سطح ما، والاحتكاك بين إطار سيارة وطريق احتكاك دروجي؛ والاحتكاك المائعي أو اللزوجة، وهو الاحتكاك بين سوائل متحركة، أو بين سوائل وجسم صلب. والسوائل اللطيفة أقل لزوجة من السوائل الغليظة، وأسرع تدفقًا.

[أحمد سعد الدين]

لزوجة الموائع تجعلها تقاوم التدفق. فالمائع ذو اللزوجة المنخفضة على اليسار، يتدفق بسرعة أكبر من المائع ذي اللزوجة العالية، على اليمين.
اللزوجة خصيصة من خصائص الموائع تجعلها تقاوم التدفق. وهي تحدث نتيجة للاحتكاك الداخلي لجزيئات السائل التي يتحرك بعضها قبالة بعض. فالسوائل ذات اللزوجة العالية، مثل المولاس (دبس السكر)، تتدفق ببطء أكثر من السوائل ذات اللزوجة المنخفضة مثل الماء.

ولجميع الموائع، بمافي ذلك السوائل، والغازات، درجة معينة من اللزوجة. وبعض المواد التي تبدو صلبة، مواد ذات لزوجة عالية وتتدفق ببطء شديد ومثال ذلك القار. ودرجة اللزوجة مهمة جداً في العديد من الاستعمالات. فعلى سبيل المثال، تحدد لزوجة زيت المحرك كفاءته في تشحيم أجزاء محرك السيارة. وكلما كان تداخل جزيئات السائل أكثر قوة، كان للسائل لزوجة أكبر. وعموماً، كلما كان حجم أو طول الجزيء أكبر، كان التداخل أقوى. وتحدد درجة حرارة المائع قوة تداخل جزيئاته، حيث تتداخل الجزيئات في المائع أكثر كلما انخفضت درجة الحرارة. وهكذا، فإن الموائع الساخنة تكون ذات لزوجة أقل من لزوجة الموائع الباردة. ولكن جزيئات الغاز تتداخل بقوة أكثر في درجة حرارة عالية. لذلك فإن لها لزوجة أكبر من لزوجة الغازات الباردة.

وإحدى طرق زيادة لزوجة سائل هي إذابة البوليمرات (سلاسل جزيئية طويلة) فيه. وتصبح هذه الجزيئات متشابكة فتقاوم التدفق. كذلك، فإن إضافة جسيمات صلبة للمائع يزيد أيضًا من درجة اللزوجة.

[أحمد سعد الدين]

قوانين الاحتكاك. القانون الأساسيّ للاحتكاك ينصّ على أنَّ القُوَّة المطلوبة للتغلُّب على الاحتكاك تتناسب مع القُوَّة العاديَّة أو العمودية الضَّاغطة على سطح آخر. ويكون هذا عندما يتضاعف وزن صندوق يتمُّ جَرُّه فوق أرضيَّة. فالقُوَّة اللازمة لِجَرِّه يجب أن تَتَضَاعَف، وعندما يَزِنُ الصندوق أربعة أضعاف وزنه فيجب استخدام قوة تزيد أَربع مرات لجَرِّه. والنِّسبة بين الوَزْن الجاري جَرُّه والقُوَّة الضَّاغطة على الأسطح معاً تسمى مُعامِل الاحتكاك. ومقدار مُعامِل الاحتكاك يعتمد على نوعيَّة الأسطح المتحركة بعضها عكس بعض. ومعامل الاحتكاك يُساوِي القُوَّة المطلوبة لتحريك جسم، مقسومة على القُوَّة الضَّاغطة على السَّطح معاً، ويمكن كتابة ذلك على النحو التالي:

معامل الاحتكاك = القوَّة المُحرِّكة ÷ القوَّة الضَّاغطة

وعلى سبيل المثال، نفرض أنَّ قُوَّة مُحرِكة ذات زنة 30 كجم مطلوبة لجر كتلة تزن 80 كجم فوق سطح مُستَو. فمعامل الاحتكاك يساوي 30 مقسوماً على 80 أو 0,375. وفي النظام المتريّ تُقَاس القُوَّة بوحدات تسمى نيوتُنات. افترض أن قوة جَرِّ مقياسها 45 نُيُوتُن مطلوبة لزحلقة كُتلة زِنتُها 12,2 كجم. تضغط الكتلة إلى أسفل بقوة تُساوي تقريبا 120 نيوتُن، وذلك لأن الجاذبية الأرضية تجذب بقوة 9,8 لكل كجم من وزن الجسم، و9,8 مضروبًا في 12,2 تساوي تقريبًا 120.

ومُعامِل الاحتكاك يَخْتَلِف باختلاف الموادِّ المُستخدَمة، فمُعامِل احتكاك خشب مُنزلِق على خَشَب يكون مابين 0,25 و 0,50 ، وفلز منزلق على فلز يساوي بين 0,15 و 0,20. وقوة الاحتكاك بسبب الاحتكاك الدُّرُوجيّ تبلغ نحو 1 ÷ 100 من القوة بسبب الاحتكاك الانزلاقّي. ولكن أحوالاً مختلفة تشْمَل الصَّلابة والنُّعومة وقُطْر المواد تؤثر على الاحتكاك الدُّرُوجيّ، وعند تصميم الآلات فعلى المهندسين أن يَعْرِفُوا معاملات الاحتكاك المختلفة.

والزَّيت يُقلِّل الاحتكاك. فمعامل الاحتكاك لحديد مُتَدَحْرِج على خشب مُزَيَّت على سبيل المثال يُصبح أقلَّ كثيرا من 0,018، لأن نوع السَّطح ليس له أثر تقريباً عندما يكون مُغطى بالزَّيت أو بسوائل أخرى، وحينئذ يعتمد الاحتكاك على لُزُوجة السَّائل والسُّرْعة النِّسبيَّة بين الأسطح المُتحرِّكة

[مجدى عبد السلام]

شكراا الاستاذ الكريم.بعداذن سيادتك نضيف:
1) اذاعلمت عدة كميات وكانت نسبة الاولى الى الثانية كنسبة الثانية الى الثالثة كنسبة الثالثة الى الرابعة وهكذا فانه يقال انها تكون تناسبا متسلسلا.
اذاعلمت ثلاث كميات متناسبة فان نسبة الاولى الى الثالثة كنسبة مربع الاولى الى مربع الثانية.

[مجدى عبد السلام]

شكراا استاذ احمد واستاذنك فى الاضافة البسيطة الاتية: ان قوى الاحتكاك تلعب دوراا هاما فى حياتنا اليومية فلولاها لما استطاع انسان ان يحفظ توازنه اثناء السير ولولاها لما تحركت عجلات القطارات و السيارات الى الامام ولظلت تدور حول نفسها وهى فى موضعها ولذلك قد لا نبالغ اذا اعتبرنا ان قوى الاحتكاك سر من اسرار بقاء الكون الذى نعيش فيه .
تعريف قوة الاحتكاك: هى قوة خفية تظهر عند محاولة تحريك جسم على سطح خشن.

[مجدى عبد السلام]

المتوالية الهندسية تبدأ بصفر وأساسها(الحد المشترك) 2 (2*0=0) إذن كيف يكون الحد الثانى 2
التصحيح أن المتوالية تبدأ بالرقم 2
ملاحظة سليمة فى محلها.

[مجدى عبد السلام]

العلاقة بين المتواليات الثلاثة:
مربع الوسط الهندسى = حاصل ضرب الوسط الحسابى فى الوسط التوافقى