سلسلة تمارين هندسة للأستاذ / يسرى عطيه

[يسري عطية ( أبو رامي )]

شبه منحرف متطابق الساقين وطول ساقه 10 سم وطول قاعدتيه 2 سم , 14 سم مرسوم داخل دائرة 0
أحسب طول نصف قطر الدائرة المرسوم داخلها

[اسامه جابر]

اليك الحل اخي ابو رامي وحمد الله على السلامة
http://img337.imageshack.us/img337/4232/666wi6.jpg

[يسري عطية ( أبو رامي )]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
حل أكثر من رائع أخي وأستاذي الاستاذ أسامة جبر بارك الله فيك
ويوجد أكثر من حل فهل من مزيد ؟

[يسري عطية ( أبو رامي )]

تمارين علي نظرية ( 1 )

1) أ ب حـ مثلث مرسوم داخل دائرة م ، ق ( < ب ) = 30 ْ برهن أن أ حـ = نق ؟
2) أ ب حـ مثلث مرسوم داخل دائرة م ، رسم م أ ، م ب بحيث ق (< م أ حـ) = 35 ْ ، ق ( م ب حـ ) = 32 ْ . أوجد ق ( < أ م ب )؟
3) أ ، ب ، حـ ثلاث نقط تنتمي للدائرة م بحيث يقعوا جميعا في جهة واحدة من م . فإذا كان ق ( أ حـ ب ) = 120 ْ . أوجد قياس (< أ ب م ) ؟

4) ب حـ ، د هـ وتران في دائرة م بحيث حـ ب ∩ هـ د = { أ }

، ق ( < حـ م هـ )= 100 ْ ، ق (< ب م د ) = 40 ْ . أوجد ق (< أ ) ؟

5) ب هـ ، حـ د وتران في الدائرة ، ب د ∩ هـ حـ = { و } ، ب هـ ∩ حـ د = { أ }

فإذا كان ق (< ب و حـ) = 80 ْ ، ق القوس ( هـ د ) = 50 ْ ، أوجد :

1) ق القوس ( ب حـ ) 2) ق ( < ب أ حـ )

[يسري عطية ( أبو رامي )]

http://www.al3ez.net/vb/../upload/a/said elbehery_abo.jpg
أ ب حـ مثلث رسم على أضلاعه مثلثات متساوية الأضلاع خارج المثلث أ ب و ، ب حـ د ، جـ أ هـ أثبت أن :
1ـ أ د = ب هـ = حـ و
2ـ أ د، ب هـ ، جـ و تتلاقى في نقطة واحدة ولتكن ن
3ـ كل أثنين من المستقيمات الستة المتفرعة من ن يحصران بينهما زاوية 60 درجة
4ـ الدوائر أ ب و ، ب حـ د ، حـ أ هـ تمر كلها بنقطة ن
5ـ ن د = ن ب + ن حـ ، ن و = ن أ + ن ب ، ن هـ = ن أ + أ حـ
6ـ في الشكل الرباعي غير الدائري المستطيل المكون من القطرين اصغر من مجموع المستطيلين المكون كل منهما من ضلعين متقابلين في الشكل المذكور
7ـ أوجد نقطة ن داخل المثلث بحيث ن أ + ن ب + ن حـ نهاية صغرى


الحـــــــل


1) المثلثان أ ب د ، و ب جـ متطابقان وينتج أن أ د = و حـ
والمثلثان أ حـ و ، أ هـ ب متطابقان وينتج أن حـ و = هـ ب
ومما سبق ينتج أن أ د = ب هـ = حـ و

2) أ س : س ب = مساحة أ س و : مساحة ب س و= مساحة أ س حـ : مساحة ب س حـ
= (مساحة أ س و+ مساحة أ س حـ):(مساحة ب س و+ مساحة ب س حـ(
= مساحة أ و حـ : مساحة ب حـ و --------------> (1)
بالمثل ب ص : ص حـ = مساحة أ ب د : مساحة أ حـ د --------> (2)
بالمثل حـ ع : ع أ = مساحة ب حـ هـ : أ ب هـ --------------> (3)
من (1) ، (2) ، (3)
مساحة أ ب د = مساحة و ب حـ ،
مساحة أ حـ د = مساحة هـ حـ ب ،
مساحة أ و حـ = مساحة أ ب هـ
أ س : س ب × ب ص : ص حـ × حـ ع : ع أ = 1 فإن أد ، ب هـ ، حـ و تتلاقى في نقطة واحدة (نظرية)

3) من تطابق المثلثين أ ب د ، و ب حـ ينتج أن < أ د ب = < و حـ ب وهما على ب ن وفي جهة واحدة منه
إذن الشكل ن ب حـ د رباعي دائري
وبالمثل يمكن إثبات أن : أ ن ب و ، أ ن حـ هـ رباعي دائري
إذن < ب ن د = < ب حـ د = 60 ، < حـ ن و = < حـ ب د = 60 ،
< أ ن و = < أ ب و = 60 ، < ب ن و = < ب أ و = 60 ،
< أ ن هـ = < أ حـ هـ = 60 ، < حـ ن هـ = < حـ أ هـ = 60

4) أ و ب ن رباعي دائري فالدائرة المارة به تمر بالنقطة ن وهي مارة بالمثلث أ ب و ومثله للشكلين ب د حـ ن ، أ هـ حـ ن
إذن الدوائر المارة بـ أ ب و ، ب حـ د ، أ حـ هـ تمر بـ ن فهي تتقاطع في النقطة ن

5) بما أن ب ن حـ د رباعي دائري
إذن ن د . ب حـ = ن ب . حـ د + ن حـ . ب د نظرية بطليموس
ن د = ن ب + ن حـ حيث المثلث ب حـ د متساوي الأضلاع
بالمثل يكون : ن و = ن أ + ن ب ، ن هـ = ن أ + ن حـ

6) هنا يوجد عمل وهو رسم د هـ بحيث يكون < ب حـ أ = < أ د هـ ، ورسم أ هـ بحيث يكون < ب أ هـ = < حـ أ د ، نصل ب هـ

< ب أ حـ = < هـ أ د( بإضافة < هـ أ حـ لكل من الزاويتين ب أ هـ ، حـ أ د(
وحيث أن < ب حـ أ = < أ د هـ فالمثلثان أب حـ ، أ هـ د متشابهان
إذن أ ب : أ هـ = أ حـ : أ د = ب حـ : هـ د ---- (1)
المثلثان أ ب هـ ، أ حـ د فيهما < ب أ هـ = < حـ أ د عملاً ،
ب أ : أ حـ = أ هـ : أ د من (1)
إذن المثلثان متشابهان وينتج ب أ : أ حـ = أ هـ : أ د = ب هـ : حـ د --- (2)
من (1) ينتج أن ب حـ . أ د = أ حـ . هـ د
من (2) ينتج أن أ ب . حـ د = أ حـ . ب هـ
بالجمع ينتج أن أ ب . حـ د + ب حـ . أ د = أ حـ( ب هـ + هـ د )
وحيث أن (ب هـ + هـ د) > ب د مجموع ضلعين في مثلث أكبر من الثالث
إذن أن أ ب . حـ د + ب حـ . أ > أ حـ . ب د


7) العمل نرسم ( خارج المثلث أ ب حـ) المثلث ب حـ د المتساوي الأضلاع ونصل أ د
ليقطع محيط الدائرة في ن فتكون النقطة المطلوبة
نعلم أن أ د = ن أ + ن ب + ن حـ
( ن ب د حـ رباعي دائي ونظرية بطليموس والاختصار)
بفرض ل نقطة داخل المثلث أ ب حـ فأن ل أما تقع على محيط الدائرة
أو لا تقع فإن وقعت ولتكن ك كان ك د = ك ب + ك حـ
( لا حظ الشكل الراعي الدائري وبطليموس أفندي)
ك أ + ك ب + ك حـ = ك أ + ك د > أ د
أي أكبر من ن أ + ن ب + ن حـ أي
ن أ + ن ب + ن حـ < ك أ + ك ب + ك حـ
فإن لم تقع مثل ل فإن الشكل ب ل حـ د رباعي غير دائري
إذن ب ل . حـ د + حـ ل . ب د > د ل . ب حـ ( تمرين 6 )
بما أن حـ د = ب د = ب حـ فيمكن اختصر المتباينة أعلاه
إذن ب ل + حـ ل > د ل
إذن ب ل + حـ ل + أ ل > د ل + أ ل ( بإضافة أ ل )
أي ب ل + حـ ل + أ ل > أ د (لأن د ل + أ ل > أ د)
أي أكبر من ن أ + ن ب + ن حـ
أي أن ن أ + ن ب + ن حـ < ل أ + ل ب + ل حـ
وبالمثل يمكن إثبات أن ن أ + ن ب + ن حـ أصفر من مجموع أبعاد أي نقطة أخرى
داخل المثلث أ ب حـ ، أي أن ن هي النقطة المطلوبة
ملاحظة
أرجو من أحد الأخوة الزملاء رسم التمرين لانني لا أجيد هذه الخاصية علي الوورد 000وجزاكم الله كل خير مقدما

[أحمد سعد الدين]

http://www.al3ez.net/vb/../upload/a/ahmad_saadeldin_prepapratory1.JPG

http://www.al3ez.net/vb/../upload/a/ahmad_saadeldin_prepapratory2.JPG

http://www.al3ez.net/vb/../upload/a/ahmad_saadeldin_prepapratory3.JPG

http://www.al3ez.net/vb/../upload/a/ahmad_saadeldin_prepapratory4.JPG

http://www.al3ez.net/vb/../upload/a/ahmad_saadeldin_prepapratory5.JPG

[يسري عطية ( أبو رامي )]

الحالة الجديدة في تطابق المثلثات

أساس القضية
في الشكل التالي ، إذا كان المثلثان متطابقين اذكر شروط التطابق ، وإلا فاكتب: الشروط غير كافية، والشكل التالي كان من بين الأشكال المطلوب فحصها:
والشكل هو : أ ب جـ د شكل رباعي فيه أ ب = د جـ , ق(ب) = ق( د ) , أ جـ ضلع مشترك

والملاحظ أن الزوايا المتطابقة " ليست محصورة " بين الضلعين ، وهو ما يؤدي - كما سيأتي - إلى الحكم بعدم كفاية الشروط، إذ للإجابة على هذا التساؤل لابد من الرجوع إلى حالات التطابق التي تأخذ بها كل مناهج الدنيا، وهي:

يتطابق المثلثان إذا توافرات فيهما الشروط التالية :

1- إذا طابق ثلاثة أضلاع في المثلث الأول نظائرها في الآخر.

2- إذا طابق ضلعان وزاوية محصورة بينهما في الأول نظائرها في الآخر.

3- إذا طابق في الأول ضلع وزاويتان نظائرها في الآخر.

4- إذا طابق في الأول ضلع ووتر في الثاني ... ( خاصة بالمثلثات القائمة الزاوية).

ومن الطبيعي أن المعطيات الثلاثة في الشكل المطلوب لا تناقش إلا ضمن الحالة الثانية التي تشدد على شرط وجوب حصر الزاوية بين الضلعين الأمر الذي يستحيل معه الحكم بتطابق هذين المثلثين . أما باقي الحالات فمن غير الوارد تدخلها ضمن المعطيات المطروحة ، وإذاً فحالة المثلثين في السؤال المطروح تجابه بفراغ واضح للنظريات القائمة التي أدت إلى خطأ الحكم بعدم كفاية هذه الشروط لبرهان التطابق ، وهو ما أدى بالبشرية جمعاء إلى تقبل ذلك والتسليم به حتى نوفمبر 1999 ، حيث تم نشر الحالة ببرهانين مختلفين في مجلة حصاد الشهر التي صدرت عن معلمي الرياضيات بغزة.

الحالة الجديدة في تطابق المثلثات :
المثلثان أ ب جـ , س ص ع فيهما
أ ب = س ص , أ جـ = س ع , ق(ب) = ق( ص)
والسؤال هو : هل يتطابق المثلثان
ملاحظة : ( كل من زاويتي ب , ص منفرجة )
العمل : نسقط أ هـ عمودياً يقطع امتداد جـ ب في هـ ، كما نسقط س م عمودياً يقطع امتداد ع ص في م .

البرهان: ق( < أ ب هـ ) = ق ( < س ص م ) ... مكملات لزوايا متساوية في القياس.

وذلك كاف لبرهان تطابق المثلثين أ هـ ب ، س م ص بحسب الحالة الثالثة ( ضلع وزاويتان - نظائرها )

نستنتج من ذلك التطابق أن أ هـ = س م ، وهذا الشرط يكمل شروط تطابق المثلثين أ هـ جـ ، س م ع ، بحسب الحالة الرابعة .. (ضلع وقائمة ووتر - نظائرها).

من التطابق الأخير يمكن استنتاج أن ق( < جـ) = ق(< ع) ، وبتوفر هذا الشرط ينتهي السجال بثبوت تطابق المثلثين أ ب جـ ، س ص ع استناداً إلى أحد المخارج التالية:

1- بزاويتين وضلع - نظائرها ، أو:

2- قياس الزاوية الثالثة في الأول = قياس الزاوية الثالثة في الثاني ( وهذا يرجعنا إلى الحالة ضلعين وزاوية محصورة ) ، أو:

3- بطرح هـ ب من هـ جـ ، وبطرح م ص من م ع نستنتج أن ب جـ = ص ع ، وذلك يعود بالبرهان إلى الحالة الأولى ( ثلاثة أضلاع - نظائرها ).

ولكي تكتمل الصورة نورد ما ذهب إليه الزميل / زياد كلاّب في رؤيته لبرهان تطابق المثلثين السابقين، حيث استند إلى ما يعرف بقانون جيب الزاوية

أَ / جا أ = بَ / جا ب = جـَ / جا جـ ، وبالرجوع إلى المثلثين بحسب المعطيات في الشكل، فإن:

جـ / جا ب في المثلث الأول = س ع / جا ص في المثلث الثاني.

وبالطبع فالنسبة الأولى أ جـ / جا ب = أ ب / جا جـ ، فيما النسبة الثانية س ع / جا ص= س ص / جا ع الأمر الذي يقطع بصحة أن أ ب / جا جـ = س ص / جا ع، ومن تطابق القطعتين أ ب ، س ص يكون جا جـ = جا ع ، وكلتاهما حادتان ( والجيب موجب ) ، إذن قياس جـ = قياس ع، وبالتالي يمكن تأويل صحة التطابق حسب مخارج عدة.

ملاحظات

1- يمكن رسم مثلث وحيد بمعلومية ضلعين وزاوية منفرجة غير محصورة وهذا ما جعل التطابق حتميا ولكن يمكن رسم مثلثين مختلقين بمعلومية ضلعين وزاوية حادة غير محصورة الشئ الذي يؤكدعدم كفاية الشروط في حال كون الزواياغيرالمحصورة المعطاة حادة .

2- يعرف قدامى الرياضيين أن معلومية ضلعين وزاوية منفرجة غير محصورة تؤدي الى حل وحيد . ولكن لم يفطن أحدا الى ربط ذلك بتطابق المثلثات

الخلاصة

انطلاقاً من مبدأ الاقتصاد في البناء الرياضي وضرورة الاستقلالية، وطالما أن الحالة الرابعة الخاصة بالمثلث القائم الزاوية وكذلك الحالة الجديدة، هما حالات غير مستقلة، أي بالإمكان البرهنة على صحتهما استناداً إلى النظريات الثلاث الأساسية، فإن التعديل الأنسب لبناء نظرية تطابق مكتملة تكون بالحفاظ على النظريات الثلاث الأساسية وتفريع نتيجتين إحداهما لتغطية الزاوية القائمة (وهي موجودة مسبقاً) وأخرى للزاوية المنفرجة، علماً أن بالإمكان دمج النتيجتين في نتيجة واحدة على النحو التالي:

يتطابق المثلثان إذا طابق في أحدهما ضلعان وزاوية غير محصورة بينهما قياسها أكبر من أو يساوي 90 ْ .. نظائرها في الآخر. وهو ما يغلق الستار على قضية تطابق المثلثات ونتائجها .. مرة وإلى الأبد !!

المناهج المصرية تحدثت عن حالة خامسة في التطابق !

رغم كل ما كتب حول هذه القضية، ورغم الصحة المطلقة للملاحظة، أي حتمية انطباق مثلثين بتطابق ضلعين وزاوية منفرجة غير محصورة من المثلث الأول مع نظائرها في المثلث الآخر، غير أننا اعتقدنا باكتشاف الحالة لأول مرة، ولابد من القول أن ما شجعنا على هذا الاستنتاج هي تكرار الثغرة في المناهج الأمريكية وقد كان ذلك مجازفة أثبت البحث خطأها، فالمناهج الأمريكية ليست نهاية المطاف ليصح الحكم بأن ما صح في بنية المقررات الأمريكية هو بالضرورة مطلق الصحة؛ هذه النقطة، ونقصد التسليم بكل ما جاء في المقررات الأجنبية لم تكن واردة في حسابنا بالمرة، وإن ثقتنا بأنفسنا وبما قدمنا من براهين كانت كافية لاكتشاف الخلل في المقرر الأمريكي، ونعود للتأكيد على أن المجازفة تعلقت فقط بادعائنا أن الحالة تعرف لأول مرة !!

[أحمد سعد الدين]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

جزيت خيرا الأخ الفاضل الأستاذ أبو رامى



دراسة حالة تطابق مثلثين
بمعلومية
ضلعان وزاوية غير محصورة


من المعلوم لتطابق مثلثين - أو إنشاء مثلث محدد وحيد - يلزم معلومية عناصر أحد الشروط التالية :

1 - أطوال الأضلاع الثلاث (SSS)
2 - زاويتين وضلع محصور بينهما (ASA)
3 - ضلعين وزاوية محصورة بينهما (SAS)
وفى حالة المثلث القائم الزاوية :
طول الوتر وأحد الأضلاع فقط - وهى حالة خاصة

وتوجد حالة رابعة بحثها الرياضيون - بمعلومية زاوية وضلعين غير محصورين للزاوية SSA - وأسموها الحالة الغامضة ambiguous case ، وهى الحالة المطلوب تداولها بالنقاش

وهذه الحالة لا تعطى فى جميع الأحوال مثلث وحيد يمكن تحديده دائما - وبالتالى عدم تطابق المثلثين فى جميع الأحوال

وتعتمد هذه الحالة على نوع الزاوية المعلومة ، ونسبة طولى الضلعين المعلومين بالنسبة لبعضهما

ويعتمد الحل فى إيجاد المثلث على قانون الجيب للمثلث كحل وحيد

وسنستخدم القانون : جاأ = (ب ج/أ ج). جاب


أولا : فى حالة أن الزاوية المعلومة " حادة " أصغر من 90 درجة ، وتتضمن 5 حالات :

http://www.al3ez.net/vb/../upload/a/ahmad_saadeldin_ambiguous case1.JPG


1 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أقصر كثيرا من الضلع المجاور :
أ ج < ب ج
بحيث (ب ج/أ ج). جاب > 1
وفى هذه الحالة لا يمكن إنشاء المثلث لأنه لا توجد زاوية جيبها > 1
وبالتالى عدم تطابقه مع المثلث الآخر بنفس عناصره المعلومة - انظر الشكل عاليه

2 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أقصر من الضلع المجاور :
أ ج < ب ج
بحيث (ب ج/أ ج). جاب = 1
وفى هذه الحالة تكون زاوية أ = 90 درجة
ويمكن إنشاء مثلث وحيد ، وبالتالى يتطابق مع المثلث الآخر بنفس عناصره - انظر الشكل عاليه

3 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أقصر من الضلع المجاور :
أ ج < ب ج
بحيث (ب ج/أ ج). جاب < 1
وفى هذه الحالة تكون زاوية أ لها قيمتين : أ ، (180 - أ)
ويوجد مثلثين وليس مثلثا وحيدا ، فالتطابق لا يتم - انظر الشكل عاليه

4 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة يساوى الضلع المجاور :
أ ج = ب ج
فيكون المثلث وحيد ومتساوى الساقين ، ويتم التطابق مع المثلث الآخر - انظر الشكل عاليه

5 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أكبر من الضلع المجاور :
أ ج > ب ج
وتكون (ب ج/أ ج). جاب < 1
ويمكن إنشاء مثلث وحيد ، وبالتالى يتطابق مع المثلث الآخر - انظر الشكل عاليه


ثانيا : فى حالة الزاوية المعلومة "منفرجة" أكبر من 90 درجة ، وتتضمن 3 حالات

http://www.al3ez.net/vb/../upload/a/ahmad_saadeldin_ambiguous case3.JPG


1 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أقصر من الضلع المجاور :
أ ج < ب ج
وتكون (جا^-1 ((ب ج/أ ج). جاب ) + زاوية ب) > 180 درجة
فلا يمكن إنشاء المثلث

2 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة يساوى الضلع المجاور :
أ ج = ب ج
وتكون (جا^-1 ((ب ج/أ ج). جاب ) + زاوية ب) = 180 درجة
فلا يمكن إنشاؤه

3 - الضلع المقابل للزاوية المعلومة أكبر من الضلع المجاور :
أ ج > ب ج
ويمكن إنشاء المثلث كحالة وحيدة وبالتالى يتطابق مع المثلث الآخر - أنظر الشكل عاليه

[يسري عطية ( أبو رامي )]

تعاريف و مفاهيم أساسية
1) أوجد قياس القوس الذي يساوي 2/5 من قياس دائرة طول نصف قطرها 35 سم
، و كذلك طوله ؟ ( ط = 22/7 )

2) أ ب حـ د مستطيل مرسوم داخل دائرة ، رسم الوتر د هـ بحيث د هـ = د حـ ،
برهن أن ب هـ = أ د ؟

3) أ ب ، حـ د وتران متوازيان في الدائرة م ، ق ( حـ م أ ) = 75 ْ
، ق ( م أ ب ) = 50 ْ . أوجد قياس القوس ( حـ د ) ؟

4) أ ب حـ د شكل رباعي مرسوم داخل دائرة بحيث أ حـ قطر ، أ د = أ ب ،
برهن أن د حـ = ب حـ ؟

5) أ ب حـ د شكل رباعي مرسوم داخل دائرة م بحيث ق ( م ب أ ) = 42 ْ
، ق ( م ب حـ ) = 50 ْ . أوجد قياس القوس ( حـ د )

6) أ ب حـ د مستطيل مرسوم داخل دائرة ، هـ منتصف القوس ( د حـ ) ،
برهن أن أ هـ = ب هـ ؟

7) قياس 1/2 الدائرة = …….. ، قياس 1/4 الدائرة = ……..

8) طول 1/2 الدائرة = …….. ، طول 1/4 الدائرة = ……..

تمارين علي نظرية ( 1 )1) أ ب حـ مثلث مرسوم داخل دائرة م ، ق ( < ب ) = 30 ْ برهن أن أ حـ = نق ؟

2) أ ب حـ مثلث مرسوم داخل دائرة م ، رسم م أ ، م ب بحيث ق (< م أ حـ) = 35 ْ
، ق ( م ب حـ ) = 32 ْ . أوجد ق ( < أ م ب )؟

3) أ ، ب ، حـ ثلاث نقط تنتمي للدائرة م بحيث يقعوا جميعا في جهة واحدة من م . فإذا كان ق ( أ حـ ب ) = 120 ْ . أوجد قياس (< أ ب م ) ؟

4) ب حـ ، د هـ وتران في دائرة م بحيث حـ ب ∩ هـ د = { أ }
، ق ( < حـ م هـ )= 100 ْ ، ق (< ب م د ) = 40 ْ . أوجد ق (< أ ) ؟

5) ب هـ ، حـ د وتران في الدائرة ، الشعاع ب د ∩ الشعاع هـ حـ = { و }
، الشعاع ب هـ ∩ الشعاع حـ د = { أ }
فإذا كان ق (< ب و حـ) = 80 ْ ، ق القوس ( هـ د ) = 50 ْ ، أوجد :
1) ق القوس ( ب حـ ) 2) ق ( < ب أ حـ )

نظرية ( 2 )
1) أ ب قطر في دائرة م ، د ، حـ في جهة واحدة من أ ب ، رسم ب حـ ، ب د ، أ د بحيث
ق ( < أ ب حـ ) = 20 ْ أوجد ق ( < ب د حـ ) ؟

2) حـ ب ، هـ د وتران في دائرة بحيث حـ ب ∩ هـ د = { أ } ،الشعاع حـ د ∩الشعاع هـ ب = { س } فإذا كان ق ( < أ ) = 45 ْ ، ق ( < ب هـ د ) = 27 ْ أوجد :
1) ق ( < حـ د هـ ) 2) ق ( < حـ س هـ )
3) أ ب ، أ د وتران متساويان في الدائرة بحيث ق ( < أ ب د ) = 75 ْ، حـ ' للقوس (أ ب ) أوجد ق ( < ب حـ د ) ؟

الرباعي الدائري

1) إذا كان أ ب حـ د شكل رباعي ، أ د ∕∕ ب حـ ، أ حـ ∩ ب د = { و } ، بحيث و ب = و جـ فهل يكون الشكل أ ب حـ د رباعي دائري ؟

2) أ ب حـ مثلث فيه د تنتمي الي أ حـ ، هـ تنتمي الي أ ب بحيث ق ( < أ هـ حـ ) = ق ( < أ د ب ) ،

أثبت أن الشكل هـ ب حـ د رباعي دائري ؟

3) أ ب حـ د رباعي دائري ، الشعاع أ هـ ينصف ( < ب أ حـ ) ، الشعاع د و ينصف ( < ب و حـ )،

أثبت أن : 1) الشكل أ هـ و د دائري .

2) هـ و // ب حـ .

4) أ ب قطر في الدائرة م ,هـ تنتمي الي م أ ، رسم هـ د ┴ أ ب بحيث د تـقع خارج الدائرة م

، رسمت د ب فقطعت الدائرة م في حـ ، أثبت أن : الشكل أهـ حـ د دائري .

5) أ ب قطر في الدائرة م ، أحـ وتر فيها ، د منتصف أ حـ ، رسم الشعاع د م فقطع الدائرة م

في هـ ، ورسم ب و ┴ أ ب فقطع الشعاع أحـ في و أثبت أن :

1 ) الشكل م ب و د دائري 2) ق ( < و ) = 2 ق (< ب أ هـ )

6) أ ب قطر في الدائرة د تنتمي الي أ ب ، رسم د هـ ┴ أ ب بحيث هـ خارج الدائرة ، ورسم

هـ أ فقطع الدائرة في س ، رسم الشعاع س د فقطع الدائرة في ص ، أ ثبت أن :

1) الشكل هـ ب د س دائري . 2) الشعاع ب أ ينصف ( < هـ ب ص )

7) أحـ قطر في الدائرة م ، س منتصف القوس( أ جـ) ، حـ ص مماس للدائرة يقطع الشعاع س م في ص

أثبت أن : (1) الشكل أس حـ ص دائري .

(2) ق ( < س م حـ) = 2 ق ( م ص حـ )

& خاص بالطلبة الفائقين :

8) أ ب حـ د شكل رباعي دائري ، الشعاع أ س ،الشعاع ب ص ، الشعاع حـ ع ، الشعاع د ل منصفات زوايا رؤوسه ،

أثبت أن : الشكل س ص ع ل دائري ؟

9) أ ب حـ مثلث مرسوم داخل دائرة الشعاع أ د ┴ ب حـ يقطعه في د ، و يقطع الدائرة في و

، ب هـ ┴ أ حـ أثبت أن : 1) الشكل أ ب د هـ دائري .

2) ب حـ ينصف ( < هـ ب و ) .

10) أ ب حـ مثلث حاد الزوايا مرسوم داخل دائرة ، رسم الشعاع أ د ┴ ب حـ فقطع ب حـ في د

و الدائرة في هـ ، رسم حـ و ┴ أ ب ، و قطع أ ب في و . أثبت أن :

1) الشكل أ و د حـ دائري . 2) ق (< ب و د ) = ق ( < ب هـ د )

11) أ ب حـ د شكل رباعي دائري ق ( < أ ) = س ْ ، ق ( ب حـ د ) = 4س ْ ،

أوجد: 1) قيمة س بالدرجات . 2) ق ( < ب م د ) .

12) أ ب حـ د شكل رباعي دائري فيه س ص // ب حـ ، أثبت أن :

الشكل أ س ص د رباعي دائري ؟

13) أ ب حـ مثلث متساوي الساقين فيه أ ب = أ حـ ، س تنتمي الي أ ب ، ص 'تنتمي الي أ حـ بحيث

س ص // ب حـ أثبت أن الشكل س ب حـ ص رباعي دائري ؟

14) أ ب حـ د شكل رباعي دائري ، ق ( < أ ) = 60 ْ ، حـ د = حـ هـ ، رسم هـ تنتمي الي الشعاع ب حـ

بحيث حـ هـ = حـ د . برهن أن المثلث د حـ هـ متساوي الأضلاع .

15) أ ب ، أ حـ وتران متساويان يحصران بينهما زاوية 45 ْ ، د ، هـ منتصفي أ ب ، أ حـ

رسم الشعاع هـ م فقطع أ ب في و . برهن أن :

1) الشكل أ د م هـ دائري . 2) م د = م هـ = د و .

16) أ س ص ع شكل رباعي دائري في دائرة ن بحيث ق ( < ن س ص ) = 50 ْ

، ق ( < ن ع ص ) = 70 ْ . أوجد ق ( < أ ) .



* خاص بالطلبة الفائقين :

* أ ب حـ مثلث فيه ب هـ ┴ أ حـ ، أ د ┴ ب حـ ، أ د ∩ ب هـ = { م } رسم الشعاع حـ م

فقطع أ ب في و . برهن أن : 1)لشكل ب و هـ حـ دائري .2) أذكر ستة أشكال دائرية .

التماس ( نظرية 4 )

1) دائرة م تمس أضلاع المثلث أ ب حـ من الداخل في س ، ص ، ع . فإذا كان أ س = 4 سم

، ب ص = 3 سم ، حـ ع = 5 سم فأوجد محيط المثلث أ ب حـ .

2) دائرتان م ، ن متماستان من الخارج في نقطة أ ، رسم ب حـ مماس مشترك خارجي

أثبت أن ق ( < ب أ حـ ) = 90 ْ .

3) دائرتان متحدتا المركز م ، رسم أ ب ، أ حـ وتران في الكبري يمسان الصغري في د ، هـ

برهن أن :

1- د ب = هـ حـ 2- د هـ // ب حـ

& خاص بالطلبة الفائقين :

4) أ ب ، أ حـ مماسان للدائرة م ، رسم هـ و مماس للدائرة م عند س حيث هـ تنتمي الي أ ب ، و تنتمي الي أ حـ

برهن أن محيط المثلث أ هـ و = 2 أ ب

5) أ ب ، أ حـ قطعتان مماستان للدائرة م ، يحصران بينهما زاوية قياسها 45 ْ ، رسم ب م

فقطع أ حـ في د أوجد ق (< حـ م د ) ثم برهن أن :

أ د = أ ب + حـ م
نظرية ( 5 )

1) أ ب ، أ حـ وتران متساويان في دائرة ، رسم حـ د مماس للدائرة بحيث ق ( < ب حـ د ) = 70 ْ أوجـــد

ق ( < حـ أ ب) ، ق ( < حـ ب أ ) .

2) د نقطة خارج دائرة ، رسم د أ ، د ب مماسان للدائرة ، حـ تنتمي الي القوس أ ب الأكبر فإذا كان ق ( < د ) = 64 ْ أوجـد
ق ( < ب أ حـ ) ، ق ( < د ب أ ) .

3) دائرة مركزها م ، أ ب قطر فيها ، حـ تنتمي الي أ ب ، رسم حـ د مماس للدائرة م بحيث ق ( < د أ ب ) = 25 ْ

أوجد ق ( < ب د حـ ) ، ق ( < حـ ) .

4) أ ب حـ د شكل رباعي مرسوم داخل دائرة بحيث ق ( < حـ ) = 105 ْ ، ق ( < ب د أ ) = 35 ْ رســم

س أ ص مماس للدائرة عند أ . أوجد ق (< س أ ب ) ، ق ( < ص أ د ) .

5) دائرة تمس أضلاع المثلث أ ب حـ من الداخل في س ، ص ، ع علي الترتيب فإذا كان ق ( < ب ) = 40 ْ

، ق ( < حـ ) = 60 ْ فأوجد قياس كل زاوية من زوايا المثلث س ص ع .

6) دائرة تمس أضلاع المثلث أ ب حـ من الداخل في س ، ص ، ع علي الترتيب فإذا كان ق ( < ع ) = 44 ْ

، ق ( < س ) = 70 ْ . فأوجد قياس كل زاوية من زوايا المثلث أ ب حـ .

7) أ ب ، أ حـ قطعتان مماستان للدائرة م ، د تنتمي الي القوس ب حـ الأكبر بحيث ق ( < د م ب ) = 100 ْ ، ق (< أ )= 80ْ

أوجد ق ( < ب حـ د ) ، ق ( < حـ د م ) .

8) دائرتان متماستان من الداخل في أ ، رسم أ حـ ، أ هـ وتران في الكبري يقطعان الصغري في ب ، د . برهن أن
ب د // حـ هـ .

اختبار عام علي الفصل الدراسي الثاني

( 1 ) أ – ضع علامة صح أمام العبارة الصحيحة و علامة ( × ) أمام العبارة الخاطئة :-

1) قياس الزاوية المحيطية = 1/2 قياس الزاوية المركزية .

2) القوسان المحصوران بين وتر و مماس يوازيه في الدائرة متساويان في القياس .

3) قياس نصف الدائرة = ط نق

ب) دائرة مركزها م ، أ حـ قطر فيها ، ب ، د تنتمي الي أ حـ في جهتين مختلفتين من أ حـ ، ق ( < حـ أ ب ) = 25 ْ ( ملاحظة ب , د تنتمي الي القوس أ جـ ) أوجد ق ( < أ ب حـ ) ، ق ( < أ د ب ) .

( 2 ) أ- أكمل العبارات الآتية بكلمات مناسبة :

1) المماسان المرسومان من نهايتي قطر في دائرة ………….

2) القطعتان المماستان المرسومتان من نقطة خارج دائرة ……….

3) قياس الزاوية المماسية = قياس الزاوية ………….

ب- أ ب حـ مثلث مرسوم داخل دائرة ، د تنتمي الي أ ب ، هـ تنتمي الي أ حـ ، رسم الشعاع أ س مماس بحيث

ق ( < س أ ب ) = ق (< د هـ أ ) . برهن أن : د هـ // ب حـ .

( 3 ) أ- أوجــد قياس القوس الذي يمثل 1/5 قيــاس الدائرة التي نصف قطرها 35 سم

، و كذلك أوجد طوله . ( ط = 22/7 )

ب- رسمت دائرة م داخل المثلث أ ب حـ تمس أضلاعه في س ، ص ، ع علي الترتيب فإذا كان

أ س = 4سم ، ب ص = 3 سم ، حـ ع = 5 سم . أحسب محيط المثلث أ ب حـ .

( 4 ) أ ب حـ مثلث مرسوم داخل دائرة ، الشعاع أ د ┴ ب حـ يقطعه في د و يقطع الدائرة في ص ، ب هـ ┴ أ حـ

يقطعه في هـ برهن أن :-

1- الشكل أ ب د هـ رباعي دائري .

2- ق (< أ ص حـ ) = ق (< د هـ حـ ) .

3- ب حـ ينصف (< هـ ب ص )

[يسري عطية ( أبو رامي )]

أ ب جـ مثلث 0 رسمت دائرة قطرها القطعة المستقيمة ب جـ وتقطع القطعة المستقيمة أ ب في د ,

القطعة المستقيمة أ جـ في هـ فإذا كان القطعة المستقيمة ب هـ تقاطع القطعة المستقيمة جـ د = م

ورسم الشعاع أ م فقطع القطعة المستقيمة ب جـ في و

أثبت أن
1) و م د ب شكل رباعي دائري

2) و م هـ جـ شكل رباعي دائري

3) الشعاع و أ ينصف زاوية د و هـ

[اقليدس العرب]

بسم الله الرحمن الرحيم

من هندسة الشكل

[ ب جـ ] قطر إذن ق ( ب د جـ ) = ق ( ب هـ جـ ) = 90

قياس الزاوية المحيطيه المرسومة علي قطر في دائرة = 90 درجة

في المثلث أ ب جـ

[ جـ د ] ، [ ب هـ ] أرتفاعان يتقاطعان في نقطة م

المعروف أن أرتفاعات المثلث تتقاطع جميعا ً في نقطة وأحدة

أذن [ أ هـ ] أرتفاع

في الشكل د ب و م زاويتان متقابلتان متكاملتان

ق ( ب د م ) + ق ( ب و م ) = قائمتان أذن الشكل رباعي دأئري ===> أولا

[اقليدس العرب]

2) و م هـ جـ شكل رباعي دائري

في الشكل و م هـ جـ

زاويتان متقابلتان متكاملتان ==> ق ( م هـ جـ ) + ق ( م و جـ ) = 180 درجة

وبالتالي الشكل رباعي دأئري =========> ثانيا


) الشعاع و أ ينصف زاوية د و هـ

الشكل ب د م و رباعي دأئري

أذن ق ( د ب م ) = ق ( د و م ) =========> ( 1 )

الشكل م و جـ هـ رباعي دأئري

أذن ق ( هـ جـ م ) = ق ( هـ و م ) ========> ( 2 )

الشكل ب د هـ جـ رباعي دأئري أو ق ( د ب م ) = ق ( هـ جـ م )

من خواص الزوايا المحطيه التي ترسم علي نفس القوس أو من الشكل الرباعي الدائري

ينتج أن ق ( د و م ) = ق ( هـ و م )

إذن الشعاع أ و ينصف زاوية د و هـ

[يسري عطية ( أبو رامي )]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
بارك الله فيك أخي الحبيب الاستاذ / أقليدس العرب وجعلك زخرا للجميع وجعل مجهودك في ميزان حسناتك

[يسري عطية ( أبو رامي )]

1) أوجد قياس القوس الذي يساوي 2/5 من قياس دائرة طول نصف قطرها 35 سم
، و كذلك طوله ؟ ( ط = 22/7 )
قياس القوس = 2/5 × 360 = 144
طول القوس =( 144 / 360 ) × 2 × 22/7 × 35 = 31680/360=88سم




7) قياس 1/2 الدائرة = 180 ، قياس 1/4 الدائرة = 90
8) طول 1/2 الدائرة = ط نق ، طول 1/4 الدائرة = ( 1/2 ) ط نق


( 2 ) أ- أكمل العبارات الآتية بكلمات مناسبة :

1) المماسان المرسومان من نهايتي قطر في دائرة متوازيان
2) القطعتان المماستان المرسومتان من نقطة خارج دائرة متساويان في الطول
3) قياس الزاوية المماسية = قياس الزاوية المحيطية المقابلة للوتر من الجهة الأحري

أ- أوجــد قياس القوس الذي يمثل 1/5 قيــاس الدائرة التي نصف قطرها 35 سم

، و كذلك أوجد طوله . ( ط = 22/7 )
قياس القوس = ( 1/ 5 ) × 360 = 72
طول القوس = ( 1/5 ) × 2 × ( 22/7 ) × 35 = 44 سم

[يسري عطية ( أبو رامي )]

اختبار عام علي الفصل الدراسي الثاني


( 1 ) أ – ضع علامة صح أمام العبارة الصحيحة و علامة ( × ) أمام العبارة الخاطئة :-

1) قياس الزاوية المحيطية = 1/2 قياس الزاوية المركزية . ( صح )

2) القوسان المحصوران بين وتر و مماس يوازيه في الدائرة متساويان في القياس . ( صح )

3) قياس نصف الدائرة = ط نق ( خطأ )

ب- رسمت دائرة م داخل المثلث أ ب حـ تمس أضلاعه في س ، ص ، ع علي الترتيب فإذا كان

أ س = 4سم ، ب ص = 3 سم ، حـ ع = 5 سم . أحسب محيط المثلث أ ب حـ .

أ س = أ ع = 4 سم
ب س = ب ص = 3سم
جـ ص = جـ ع = 5 سم
محيط المثلث = 7 + 8 + 9 = 25 سم

[يسري عطية ( أبو رامي )]

2) أ ب حـ د مستطيل مرسوم داخل دائرة ، رسم الوتر د هـ بحيث د هـ = د حـ ،
برهن أن ب هـ = أ د ؟

أ ب = أ جـ
قياس القوس أ ب = قياس القوس أ جـ

قياس القوس أ ب = قياس القوس هـ د
بإضافة قياس القوس أ هـ للطرفين
قياس القوس هـ ب = قياس القوس أ د
ب هـ = أ د

[يسري عطية ( أبو رامي )]

3) أ ب ، حـ د وتران متوازيان في الدائرة م ، ق ( حـ م أ ) = 75 ْ
، ق ( م أ ب ) = 50 ْ . أوجد قياس القوس ( حـ د ) ؟

أ ب // جـ د
قياس القوس أ جـ = قياس القوس ب د = 75
م أ = م ب =نق
ق( أ ) = ق ( ب ) = 50
ق ( أ م ب ) = 80
قياس القوس أ ب = 80
قياس القوس جـ د = 360 - ( 75 + 75 + 80 ) = 360 - 230 = 130

[يسري عطية ( أبو رامي )]

4) أ ب حـ د شكل رباعي مرسوم داخل دائرة بحيث أ حـ قطر ، أ د = أ ب ،
برهن أن د حـ = ب حـ ؟

أ جـ قطر
قياس القوس أ د + قياس القوس د جـ =قياس القوس أ ب + قياس القوس ب جـ ...........( 1 )
أ د = أ ب معطي
قياس القوس أ د = قياس القوس أ ب
من ( 1 )
قياس القوس د جـ = قياس القوس ب جـ
د جـ = ب جـ

[يسري عطية ( أبو رامي )]

دائرتان متحدتا المركز ن , أ نقطة خارجهما رسم منها المماسان أ ب , أ جـ يمسان الدائرة الكبري في ب , جـ , رسم من أ المماسان أ د , أ هـ يمسان الدائرة الصغري في د , هـ
أثبت أن
أولا : ب د = جـ هـ
ثانيا : ب جـ // د هـ

[يسري عطية ( أبو رامي )]

جـ ب , هـ د وتران في دائرة بحيث الشعاع جـ ب تقاطع الشعاع هـ د يتقاطعان في النقطة أ خارج الدائرة 0 فإذا كان قياس زاوية (هـ أ ب ) = 50 , وكان قياس القوس( ب د ) = 60
أوجد قياس القوس ( ب جـ )
..............................................................................................................................
هذا التمرين موجود في كتاب التدريبات الاختبار الرابع فهل المطلوب قياس القوس ب جـ , أم قياس القوس هـ جـ
مع العلم أن التمرين موجود بنفس الصيغة منذ طبعة عام 2000

[سامح الدهشان]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

الأخ الفاضل : أبو رامي

أعتقد أن المطلوب تمرين مباشر علي حقيقة أو نتيجه في الهندسة

وهو القوس هـ جـ

أما عن طريق الزاوية الخارجة عن المثلث

أو قياس الزاوية الناتجة عن تقاطع شعاعين يحملان وتريين في دأئرة

ق ( أ ) = 1/2 [ ق ( هـ جـ ) - ق ( ب د ) ]

50 = 1/2 [ قياس القوس هـ جـ - 60 ]

==> 100 + 60 = قياس القوس ( هـ جـ )

===> 160 = قياس القوس ( هـ جـ )

[يسري عطية ( أبو رامي )]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
شكرا أخي الحبيب أبو أحمد علي الأهتمام
ولقد شكيت في المطلوب فرجعت لكتب التدريبات منذ عام 2000ووجدت التمرين بنفس الصيغة المعروضة فقلت أخذ رأي أساتذتي الأفاضل
وتقبل تحياتي

[عبدالله الاديب]

ياريت حضرتك تقولى رسمى المرفق كده مظبوط علشان أحل المثال على هذا الاساس
ولك جزيل الشكر

[يسري عطية ( أبو رامي )]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
شكرا أخي الفاضل والرسم جميل وصحيح وتقبل تحياتي

[عبدالله الاديب]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته
أستاذى الفاضل
http://img440.imageshack.us/img440/9186/41474940lk9.jpg
أرجو أن يكون حل المثال مظبوط
وياريت تقولى على مقترحاتك لو فى اى تعديل على الاسلوب او الحل
وكانت عندى مسائل فى كتاب الوزارة بتاع هندسة أولى اعدادى كنت عايز استشير حضرتك فيها
تقبل فائق احترامى
عبدالله الاديب

[يسري عطية ( أبو رامي )]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
شكرا كثيرا أخي الحبي الاستاذ عبد الله وطبعا الحل سليم ولا يوجد ولا يوجد أي مقترحات علي الحل
وأنا تحت أمر حضرتك في أي شيئ أستطيعه 000وبارك الله في حضرتك

[يسري عطية ( أبو رامي )]

أسئلة رياضيات نهائي2 متوسط منهج السعودية

[يسري عطية ( أبو رامي )]

اختبار الدور الأول - الفصل الدراسي الثاني ( ثالث متوسط )
العام الدراسي : 1427 / 1428 هـ
منهج المملكة العربية السعودية