المتواليات التوافقية

[مجدى عبد السلام]

المتواليات التوافقية
تعريف : يقال إن ثلاث الكميات أ ، ب ، جـ تكون متوالية توافقية متي كانت
أ.......أ ـــ ب
ــــ = ـــــــــــــ
جـ ..... ب ــ جـ

ويقال إن عدة كميات تكون متوالية توافقية اذاكانت كل ثلاث متتالية منها تكون متوالية توافقية

[مجدى عبد السلام]

تعريف : مقلوب الكميات المكونة لمتوالية توافقية يكون متوالية عددية ( حسابية )
البرهان:نعلم من التعريف المتقدم أنه اذاكونت أ ، ب ، جـ متواية توافقية
أ / جـ = ( أ ــ ب ) / ( ب ــ جـ )
أذن : أ ( ب ــ جـ ) = جـ ( أ ــ ب )
وبقسمة اطرفين علي أ ب جـ
( 1 / جـ ) ـــ ( 1 / ب ) = ( 1 / ب ) ــ ( 1 / أ )
وهو المطلوب أثباته.
ملاحظة :
خواص التوافق لا تظهر أهميتها الا في علم الهندسة وفي نظرية الصوت أما في الجبر فلا يهم منها الا النظرية التي سبقت البرهنة عليها وليس هناك قانون عام يتوصل به الي معرفة حاصل جمع عدة كميات مكونة امتوالية توافقية ولذا تحل غالبا الأسئلة المتعلقة بالمتواليات التوافقية بقلب حدودها فتصير متواليات حسابية.
مثال (1):
اذاكان الحد الثاني عشر من متوالية توافقية هو (1/5) والتاسع عشر هو (3/22)فما هي المتوالية ؟
الحل:
نفرض أن أ الحد الأول من المتوالية الحسابية المقابلة للمتوالية التوافقية المطلوبة وأن ء أساس هذه المتوالية الحسابية
فيكون : أ + 11 ء = 5
........: أ + 18 ء = 22/3
ون ذلك ينتج أن: ء = 1/3 ، أ = 4/3
فالمتوالية الحسابية هي : 4/3 ، 5/3 ، 2 ، 7/3 ، ......................
والمتوالية التوافقية هي : 3/4 ، 3/5 ، 1/2 ، 3/7 ،...............

[مجدى عبد السلام]

إيجاد الوسط التوافقي بين كميتين معلومتين:
نفرض أن أ ، ب هما الكميتان المعلومتان ، هـ الوسط التوافقي المراد إيجاده
فتكون الكميات (1/ أ) ، ( 1/هـ ) ، ( 1/ب) مكونة لمتوالية حسابية
( 1/هـ) ـــ ( 1/ أ ) = ( 1/ب) ــ ( 1/هـ)
هــــــ = 2 أ ب / ( أ + ب )
[line]
اذا كانت ع ، هـ ، و . هي الوسط الحسابي و الهندسي و التوافقي بين الكميتين أ ، ب
ع = ( أ + ب ) / 2................................>(1)
هـ = جذر( أ ب )....................................>(2)
و = 2 أ ب / ( أ + ب ).............................>(3)
ع و = [ ( أ + ب ) / 2 ] * [ 2 أ ب / ( أ + ب ) ]
ع و = أ ب
ع و = هـ^2
أي أن هــ هي الوسط بين ع ، و

[سامح الدهشان]

متوالية توافقية حدها الثالث = 1/6 وحدها الخامس = 1/10 أوجد الحدود الخمس الأولي منها

[سامح الدهشان]

عددأن وسطهما التوافقي = 8 ووسطهما الهندسي = 10

ماهما العددان ؟


==========================================================

عددأن وسطهما الحسابي= 125 ووسطهما التوافقي = 120

فما هما العددان

======================================================\==
عددأن موجبان وسطهما الحسابي = وسطهما الهندسي = وسطهما التوافقي = 5

فما العددان ؟

========================================================

عددأن وسطهما الحسابي= 4 ووسطهما الهندسي = 3.9 تقريبا فما العددان

=========================================================

[مجدى عبد السلام]

الأستاذ الكبير / سامح بك الدهشان
أهلا بعودتك.
أرجو أضافة تمارين التوافقية خلف مشاركتي علي الرابط:
http://www.al3ez.net/vb/showthread.php?p=168311#post168311
ليكتمل الموضوع.

[سامح الدهشان]

نضع الحل :

الفكرة الأولي : الحد الثالث في متوالية حسابية = 6

والحد الخامس في نفس المتوالية = 10

اذن أ + 2 د = 6 ، أ + 4 د = 10 ====> 2 د = 4 ===> د = 2


الحدود هي : ( 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10 ................. )

اذن حدود المتوالية التوافقية المنبسقة من هذة المتتابعة الحسابية هي

( 1/2 ، 1/4 ، 1/6 ، 1/8 ، 1/10 ، .......................... )

[مجدى عبد السلام]

الأستاذ الكبير/ سامح بك الدهشان
شكراا لكم علي سرعة التلبية..

[مها خالد]

استاذ مجدي :
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
ارجو توضيح معنى المتتالية التوافقية
لاني احترت بينها وبين الحسابية
والتعريف الموجود في مقدمة السؤال لم استطع فهمه
شكرا لك

[سامح الدهشان]

كل الشكر لك أستاذي : الفاضل مجدي عبد السلام

عددأن وسطهما التوافقي = 8 ووسطهما الهندسي = 10

ماهما العددان ؟

بفرض العددأن هما : س ، ص

الوسط التوافقي = ( 2 س ص / ( س + ص ) ) = 8

اذن س ص = 4 ( س + ص ) ========> ( 1 )

الوسط الهندسي = جذر ( س ص ) = 10

اذن س ص = 100 ==========> ( 2 )

من المعادلة ( 1 ) ، ( 2 )

س + ص = 25 =============> ( 3 )

بحل المعادلتين ( 2 ) ، ( 3 )

( س - 20 ) ( س - 5 ) = صفر

العددأن هما 20 ، 5 أو 5 ، 20

[مجدى عبد السلام]

عددأن وسطهما التوافقي = 8 ووسطهما الهندسي = 10

ماهما العددان ؟
الحل:


نفرض ان العددان هما أ ، ب .. وسطهما التوافقي هو و.. وسطهما الهندسي هو هـ
هـ = جذر أ ب = 10
أ ب = 100 ...................>(1)
و = 2 أ ب / ( أ + ب ) = 8
200 / ( أ + ب ) = 8
أ + ب = 25 ................>(2)
بحل المعادلتين
أ = 20 ، ب = 5
العددان هما 20 ، 5

[مجدى عبد السلام]

استاذ مجدي :
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
ارجو توضيح معنى المتتالية التوافقية
لاني احترت بينها وبين الحسابية
والتعريف الموجود في مقدمة السؤال لم استطع فهمه
شكرا لك
متي تكون الأعداد س ، ص ، ع في توال توافقي ؟
اذا تحقق الشر ط التالي :
س / ع = ( س ــ ص ) / ( ص ــ ع )
مثال:
الأعداد 1 ، 13/7 ، 13 تكون متوالية توافقية لأن :
1/13 = ( 1 ــ 13/7 ) / ( 13/7 ــ 13 )

[مجدى عبد السلام]

(6)
أوجد الحد السادس من المتوالية 4 ، 2 ، 4/3 ، ........
(7)
أوجد الوسط التوافقي بين :
1 ، 13
1/ ( س + ص ) ، 1 / ( س ــ ص )
(8)
ضع أربعة أوساط توافقية بين 1 ، 6
(9)
إذا كانت ح الوسط الهندسي بين الكميتين أ ، ب فأثبت أن النسبة بين الوسط العددي والوسط التوافقي للكميتين أ ، ح تساوي النسبة بين الوسط العددى والوسط التوافقي للكميتين ح ، ب
( 10 )
إذا علمت ثلاثة حدود متتالية في متوالية هندسية . فبرهن أن الكميات الثلاث الحاصلة من إضافة الحد الثاني من هذه الحدود الثلاثة الي كل منها تكون متوالية توافقية.
[line]
ننتهي من حل هذه التمارين ومازال هناك المزيد.