الاستقراء الرياضي والحساب التوافقي

[طالب رياضيات]

السلام عليكم :
من مدة لم أشارك في هذأ القسم الممتع ... لدي بعض الاسئلة في الموضوع أعلاه باعتباره من اجمل مادرسته في سنتي الدراسية الفائتة بعد حساب المثلثات......
لعل بعض الرموز لن أستطيع كتابتها لكن سأحاول أن اكتبها بكيفية قراتها.....
السؤال الاول :
أثبت صحة كل من الجمل الآتية لكل ن تنتمي الى ط ( توضيح باعتبار الاختلاف في المجموعات ط عندنا الاعداد 1, 2, 3, 4, 5 ,..................................... الة اخره دون الصفر)
(1) ج(ن): سيجما من ن إلى 1 (2ر_ ا)^3= ن^2 (2ن^2 _1)
(2) ج(ن): سيجما منن إلى 1 (أ+(ر_1)د)= 1/2ن(2ا+(ن_1)د)
(3)ج(ن): سيجما من ن إلى 1 أس^ر-1= أ(س^ن_1)/س_1
____________
هذه الأسئلة بالنسبة للاستقراء الرياضي اذا رأيت من يجاوبني وضعت الاسئلة للحساب التوافيق والتباديل...
ملاحظة: اشارة_ تعني عملية طرح تفصل بين الحدين
اشارة - تعني سالب او طرح ضمن الأس نفسه
والسلام عليكم ...........

[سامح الدهشان]

(1) مجـــــــ : سيجما من 1 إلى ن : (2ر- 1)^3= ن^2 (2ن^2 - 1)

سنبدأ علي أعتبار أن العلاقة صحيحة عند ر = 1

بفرض أن العلاقة صحيحة عند ر = ك

مجـ ( 2 ر - 1 )^3 = ك^2 ( 2 ك^2 - 1 ) ==========> ( 1 )

نحاول إثبات صحة العلاقة عند ر = ك + 1

إي أثبات أن مجـ ( 2 ر - 1 )^3 = ( ك + 1 )^2 [ 2 ( ك + 1 )^2 - 1 ]

من ر= 1 =========> ك + 1

الطرف الأيمن يساوي

ك^2 ( 2 ك^2 - 1 ) + [ 2 ( ك + 1 ) - 1 ]^3

= ك^2 ( 2 ك^2 - 1 ) + [ 2 ك + 1 ]^3

= ( 2ك^4 - ك^2 + 8 ك^3 + 12 ك^2 + 6 ك + 1 )

= 2 ك^4 + 8 ك^3 + 11 ك^2 + 6 ك + 1 ===========>


= ( ك^2 + 2 ك + 1 ) ( 2ك^2 + 4 ك + 1 )

= ( ك + 1 )^2 [ 2 ( ك^2 + 2 ك ) + 1 ]

= ( ك + 1 )^2 [ 2 ( ك^2 + 2 ك + 1 ) - 2 + 1 ]

= ( ك + 1 )^2 [ 2 ( ك + 1 )^2 - 1 ] الطرف الأيسر

[مها خالد]

استاذي الكريم :
حاولت ان افهم المطلوب من سؤالك
وقمت بارسال هذا المرفق
ان كان على صواب ارسل لك باقي الحلول
شكرا لك

[سامح الدهشان]

(2)مجـــــ: سيجما من 1 إلى ن : (أ+(ر - 1)د)= 1/2ن(2ا+(ن - 1)د)

بفرض أن العلاقة صحيحة عند ن = 1

نفرض صحة العلاقة عند : ر = ك

مجـ ( أ + ( ر - 1 ) د ) = 1/2 × ك ( 2 أ + ( ك - 1 ) د )

نحاول إثبات صحة العلاقة عند ر = ك + 1 إي أثبات أن

مجـ ( أ + ( ر - 1 )د ) = 1/2 × ( ك + 1 ) [ 2 أ + ك د ]

من ر = 1 ==========> ( ك + 1 )

الطرف الأيمن =

1/2 × ك ( 2 أ + ( ك - 1 ) د ) + ح (ك+1 )

= 1/2 × ك ( 2 أ + ( ك - 1 ) د ) + أ + ك د

= 1/2 × ك ( 2 أ + ( ك - 1 ) د ) + 1/2 × ( 2 أ + 2 ك د )


1/2 [ 2 أ ك + 2 ك د + ك ( ك - 1 ) د + 2 أ ]

= 1/2 [ 2 أ ك + ك د + ك^2 د + 2 أ ]

= 1/2 [ 2 أ ( ك + 1 ) + ك د ( ك + 1 ) ]

= 1/2 ( ك + 1 ) [ 2 أ + ك د ] ===============> الطرف الأيسر

[سامح الدهشان]

(3)مجــــ : سيجما من 1 إلى ن : أس^ر-1= أ(س^ن - 1 )/( س - 1 )

أعتقد أن السابقة هي مجموع حدود متتابعة حسابية والحالية مجموع حدود متتابعة هندسية

وأعذرني أخي الكريم علي التعديل في سؤالك حتي يكون وأضح للجميع بارك الله فيك

وساترك الفرصة لأخ أخـــــــــــر يشارك بالحل ( لانني أرهقت من الكتابة علي الكومبيوتر )

بارك الله فيك

[طالب رياضيات]

السلام عليكم:
كيف حالكم أستاذ سامح وأستاذة مها واسمحوا أن نكون أحد طلابكم.....
أولاً أستاذتي مها هنا نستخدم مبدأ الاستقراء الرياضي :
ن= أ (اقصد البداية سواء كانت واحد او اثنين او ثلاثة او اكثر...)
ن= ك
ن= ك+1
ولعل ما تفضلتم به من حل طريقة اخر لاثبات صحة الجملة الرياضية فوق مستوانا :rolleyes:

أستاذ سامح تعبناك معانا ..
بداية لدي سؤال كيف ر= 1 والبداية ن أليس من المفترض أن ن=1 !!:confused:

لدي سؤال بالنسبة الى سؤال الاول:
كيف حللت:
2ك^4+8ك^3-11ك^2+6ك+1
اما السؤال الثاني واضح ويمكن أن نقول أيضًا
ك أ +1/2(ك-1)د+أ+ك د
ك أ+ 1/2ك^2د-1/2 ك د+أ+ ك د
ك أ+1/2ك^2د+1/2ك د+أ
(ك أ +أ) +(1/2ك^2+1/2ك د)
أ(ك+1)+1/2ك د(ك+1)
1/2(ك+1) (2أ+ك د)
____________
شكرًا لكم ونتظر إجابة السؤال الثالث وفقنا ووفقكم الباري والسلام عليكم .......

[سامح الدهشان]

أستاذ سامح تعبناك معانا ..
بداية لدي سؤال كيف ر= 1 والبداية ن أليس من المفترض أن ن=1 !!

قيم ر في المجموع من ر = 1 =========> الي ر = ن

هذا في الطرف الأيمن

القيمة الموجودة في الطرف الأيسر هي قيمة المجموع لجميع قيم ن الطبيعية

الفرق فقط أن عند ر = 1 هو الحد الأول في المجموع

عند ر = 2 هو مجموع حدين الأول والثاني

عند ر = ن مجموع ن من الحدود بدء من الحد الأول

( المتغير الموجود في المجموع هـــــــــو ر ) والترقيم للحدود من 1 ======> ن

ولذلك من الصواب أن نقول عند ر= 1 وليس عند ن = 1

[مها خالد]

استاذ student:
القاعدة:
الموجوده بالمرفق الاتي وأعتقد انها تناسب المرحلة الثانوية

[سامح الدهشان]

لدي سؤال بالنسبة الى سؤال الاول:
كيف حللت:
2ك^4+8ك^3-11ك^2+6ك+1

أولا هذا المقدار صعب تحليلة وأعتقد لايمكن تحليله نهائيا

ولكن المقدار الصحيح هـــــــــــــــــــو :

2ك^4+8ك^3+ 11ك^2+6ك+1

( - 1 ) جذر مكرر للمقدار أذن أحد العوامل ( ك + 1 )^2

ثم قسمة الحد الأول ÷ الحد الأول ، الثابت ÷ الثابت ثم أوجدت الحد الناقص

( ك + 1 ) ( ك + 1 ) = ك^2 + 2 ك + 1


2ك^4+8ك^3+ 11ك^2+6ك+1 = ( ك^2 + 2 ك + 1 ) ( 2 ك^2 +....... + 1 )


من جداء : 2 ك × 2 ك^2 = 4 ك^3 ونحتاج 8 ك^3

الباقي = 4 ك^3 ÷ ك^2 = 4 ك


أذن 2ك^4+8ك^3+ 11ك^2+6ك+1 = ( ك^2 + 2 ك + 1 ) ( 2 ك^2 +4 ك + 1 )

[طالب رياضيات]

السلام عليكم :
شكرًا لكل من الأستاذ سامح والاستاذة مها على التوضيح ......
السؤال الثاني:
(1):
بكم طريقة يمكن ترتيب 6 كتب مختلفة على أحد الرفوف؟ وبكم طريقة يمكن إجراء هذا الترتيب.
أ- بشرط أن يظل كتابان معينان متجاورين.
ب- بشرط أن يظل كتابان معينان منفصلين.
(2):
استضاف مدير مدرسة 3 مدرسين وأربعة طلاب جلسوا على مائدة مستديرة على أن يجلس المدير على كرسي معين وبجانبه طالب فمدرس وهكذا...
بكم طريقة يمكنهم الجلوس؟