* موسوعة تمارين علي المعادلات التفاضلية *

[سامح الدهشان]

حل المعادلة التفاضلية

ص َ = - س / ص

بالتفصيل مع شرح الخطوات المستخدمه عند الحـــــــــــــل

[سامح الدهشان]

الحــــــــــــــــل :

دص / د س = - س / ص

بفصل المتغيرات :

ص د ص + س د س = صفر

بإجراء التكامل :

ص^2 / 2 + س^2 / 2 = مقدار ثابت ( ك )

بإختيار الثابت كيفما نشاء

الحـــــــــــــــــل :

س^2 + ص^2 = ك^2

وهي معادلة دأئرة مركزها نقطة الأصل وطول نصف قطرها ك

[سامح الدهشان]

حل المعادلة التفاضلية :

س ( ص^2 - 1 ) د س - ص ( س^2 - 1 ) د ص = صفـــــــــــر

مع توضيح خطوات الحـــــــــــــــــل

[سامح الدهشان]

الحـــــــــــــــــــل :

بفصل المتغيرات

س دس / ( س^2 - 1 ) - ص دص / ( ص^2 - 1 ) = صفر

1/2 [ 2 س دس/ ( س^2 - 1 ) - 2 ص دص / ( ص^2 - 1 ) ] = صفر

بإجراء التكامل

لـــــــو | س^2 - 1 | - لــــــو | ص^2 - 1 | = ثابت

بإختيار الثابت كيفما نشاء
لـــــــو | س^2 - 1 | - لــــــو | ص^2 - 1 | = لـــــــو ك

أذن لــــــــو | ( س^2 - 1 ) / ( ص^2 - 1 ) | = لو ك

أذن س^2 - 1 = ك ( ص^2 - 1 )

حل المعادلة

ص^2 = [ س^2 - 1 + ك ] / ك

[سامح الدهشان]

حل المعادلة التفاضلية

هـ^-2س ص َ = هـ^2ص

مع توضيح الخطوات وشرح الفكرة

[مها خالد]

حل المعادلة التفاضلية

هـ^-2س ص َ = هـ^2ص

مع توضيح الخطوات وشرح الفكرة

[سامح الدهشان]

الأخت مها بارك الله فيكي

هـ^-2 س صَ = هـ^2ص

هـ^-2س دص /دس = هـ^2ص

هـ^-2ص دص - هـ^2س دس = صفر ====بفصل المتغيرات

بإجراء التكامل

-1/2 هـ^-2ص - 1/2 هـ^2س = ثابت

بإختيار الثابت كيفما نشاء

أذن هـ^-2ص + هـ^2س = ك وهو الحل للمعادلة التفاضلية

[سامح الدهشان]

حل المعادلة التفاضلية :

( س^2 - ص^2 ) دس + 2 س ص د ص = صفــــــــــر

مع الشرح الوافي

[مها خالد]

حل المعادلة التفاضلية :

( س^2 - ص^2 ) دس + 2 س ص د ص = صفــــــــــر

مع الشرح الوافي
تسمى مثل هذه المعادلات المعادلات المتجانسة
نقسم على س^2
نفرض متغير جديد ع = ص/ س
(1- ع^ 2)ءس + 2ع ءص =0
نفصل المتغيرات:ءص/ءس= (ع^2 -1)/ 2ع .......(1)
ع = ص/ س =====>ص= ع س=====> ءص/ءس = ع + س *ءع/ءس.......(2)

(ع^2 -1)/ 2ع =ع + س *ءع/ءس=====>

(-2ع) ءع/ (ع^2+1) =ءس/س=====>1/(ع^2+1)= س +ث

[سامح الدهشان]

حل المعادلة التفاضلية :

( س^2 - ص^2 ) دس + 2 س ص د ص = صفــــــــــر

مع الشرح الوافي

الحـــــــــــــــــــــل :

توضيح بسيط : تكون المعادلة التفاضلية

ق ( س ، ص ) د س + ك ( س ، ص ) د ص = 0

متجانسة إذا كان كلا من ق ، ك دوال متجانسة في س ، ص

ولهما نفس الدرجة

ولحل هذة المعادلة نستخدم التعويض : ص = ل س

ثم نعوض ونستخدم فصل المتغيرات ثم نعوض مرة أخري

( س^2 - ل^2 س^2 ) د س + ( 2 × ل س × س ) د ص = صفر

س^2 ( 1 - ل^2 ) د س + 2 س^2 ل × د ص = صفر ========> ( 1 )

الأن علينا التعويض عن د ص

ص = ل س

د ص = ل د س + س د ل

س^2 ( 1 - ل^2 ) د س + 2 س^2 ل ( ل د س + س د ل ) = صفر

( 1 + ل^2 ) د س + 2 ل س د ل = صفر

==> دس / س + ( 2 ل / ل^2 + 1 ) د ل = صفر

بفصل المتغيرات في الخطوة السابقة


ثم أجراء التكامل

لــــــــو | س | + لــــــــو | ل^2 + 1 | = ثابت

بإختيار الثابت كيفما نشاء

لــــــــو س ( ل^2 + 1 ) = لـــــــو جـ

س ( ص^2 / س^2 + 1 ) = جـ

ص^2 / س + س = جـ

س^2 + ص^2 = جـ س وهو حل المعادلة

[سامح الدهشان]

حل المعادلة التفاضلية :

( 2 ص × هـ^ص/س - س ) صَ + 2 س + ص = صفر

مع الشرح والتوضيح

[مها خالد]

حل المعادلة التفاضلية :

( 2 ص × هـ^ص/س - س ) صَ + 2 س + ص = صفر

مع الشرح والتوضيح
معلومة اضافية:
تعتبر المعادلة متجانسةعندما نستطيع وضعها على الصورة:ءص/ءس= د(ص/س)
المعادلة المعطاة متجانسة لان:
نقسم على س
تصبح
2ص/س* هـ^ص/س-1)صَ + 2 + ص/س = 0
2ل * هـ^ل -1)صَ +2+ل =0
صَ= (2+ل)/(1- 2ل *هـ^ل)..........(1)
صَ = ل+ سءل/ءس .............(2)
بالمساواة والتكامل نتوصل للحل

[سامح الدهشان]

بالمساواة والتكامل نتوصل للحل

[ ( 2 ل - هـ^-ل ) / ( ل^2 + هـ^-ل ) ] د ل + 2/س د س = صفر

لـــــــو ( ل^2 + هـ^-ل ) + 2 لــــــــو | س | = ثابت = لــــــــو جـ

س^2 × ( ل^2 + هـ^-ل ) = جـ

س^2 ( ص^2 / س^2 + هـ ^(-ص/س ) ) = جـ

ص^2 + س^2 هـ ^(-ص/س ) = جـ

الحل المطلوب ............ تكملة خطوات حل الأخت مها

[سامح الدهشان]

حل المعادلة التفاضلية :

ص َ = [ ( 4 س - ص + 7 ) / ( 2 س + ص - 1 ) ]

مع توضيح خطوات الحــــــــــــــــــــــــل .................................................

[سامح الدهشان]

حل المعادلة التفاضلية :

ص َ = هـ ^ ( س + ص )

مع توضيح خطوات الحـــــــــــــــــــــل

[سامح الدهشان]

حل المعادلة التفاضلية :

ص َ = هـ ^ ( س + ص )

مع توضيح خطوات الحـــــــــــــــــــــل


د ص / د س = هـ^س × هـ^ص

هـ^-ص د ص = هـ^س د س

بإجراء التكامل

- هـ^- ص = هـ^س + ثابت

أذن هـ^س + هـ^-ص = ثابت

[سامح الدهشان]

حل المعادلة التفاضلية :

ص َ = [ ( 4 س - ص + 7 ) / ( 2 س + ص - 1 ) ]

مع توضيح خطوات الحــــــــــــــــــــــــل .................................................

[مها خالد]

حل المعادلة التفاضلية :

ص َ = [ ( 4 س - ص + 7 ) / ( 2 س + ص - 1 ) ]

مع توضيح خطوات الحــــــــــــــــــــــــل .................................................
هذا التمرين من التمارين التي نستطيع ان نردها لتكون معادلة تفاضلية متجانسة
نحسب محدد (4*1--1*2)=6 لايساوي صفر
س= س1 +ث1 ,ص= ص1 +ث2
ونعوض في العلاقة السابقة:
4(س1 +ث1 ) -(ص1 +ث2)+7 =====>4ث1-ث2 +7=0
2(س1 +ث1 )+ص1 +ث2-1=====>2ث1 +ث2 -1 =0
ومنه 6 ث1 =-6=====>ث1=-1,-4 -ث2 +7=0 =====>ث2=3

يصبح السؤال:
صَ= (4س1-ص1)/ (2س1+ص1)
معادلة تفاضلية متجانسة نحلها بالقسمة على س1 وكما في التمرين السابق

[سامح الدهشان]

حل المعادلة التفاضلية :

ص َ = [ ( 4 س - ص + 7 ) / ( 2 س + ص - 1 ) ]

مع توضيح خطوات الحــــــــــــــــــــــــل .................................................

الفكرة هذا النوع من المعادلات ليست متجانسة ونحاول الي تحويلها الي معادلة متجانسة أولا

ولكن كيف ؟ علينا الأن إستقبال هذة المعلومة عن هذا النوع من المعادلات

المعادلة التفاضلية :

( أ س + ب ص + جـ ) د س + ( أ1 س + ب1ص + جـ 1 ) د ص = صفر

معادلة ليست متجانسة

تمثل زوج من الخطوط المستقيمة


أ س + ب ص + جـ = 0 =======> ( 1 )

أ1 س + ب1ص + جـ 1 = 0 ========> ( 2 )

علينا أولا أن نتعرف علي العلاقة بين المستقيمين

هل متوازيان أم متقاطعان ؟

من خلال ===> أ/ أ1 = ب / ب1 فقط متوازيان

من خلال ===> أ / أ1 =/= ب/ ب1 متقاطعان

إذا كانا متوازيان نستخدم التعويض =======> ع = أس + ب ص

بعد وضع المعادلة علي الصورة : ( أس + ب ص + جـ ) د س + [ ك ( أس + ب ص ) + جـ1 ]دص =0

ثم نكمل الحل بفصل المتغيرات

بينما إذا كان المستقيمين متقاطعان : نستخدم التعويض

س = ل + سَ ، ص = ك + صَ حيث ( ل ، ك ) إحداثيات نقطة التقاطع بين المستقيمين

فتتحول المعادلة الي معادلة متجانسة ونكمل الحل

[سامح الدهشان]

حل المعادلات التفاضلية التالية :

دص/دس = جذر( ص^2 + 1 ) / س

000000000000000000000000000000000000000000000000000

[مها خالد]

حل المعادلات التفاضلية التالية :

دص/دس = جذر( ص^2 + 1 ) / س
معادلة تفاضلية يمكن فصل المتغيرات فيها

[سامح الدهشان]

دص/دس = جذر( ص^2 + 1 ) / س
معادلة تفاضلية يمكن فصل المتغيرات فيها

حل أخر :

دص / جذر ( ص^2 + 1 ) = دس / س

الطرف الأيسر تكامل سهل - والأيمن تكامل أساسي

لو فرضنا جدلا أن الطرف الأيمن تكامله غير معروف كيف يمكن التفاعل معه

نتابع : بوضع ص = ظاهـ ===> دص = قا^2 هـ د هـ

جذر ( ص^2 + 1 ) = | قا هـ | = قاهـ

اصبحت المعادلة

تكامل [ قاهـ د هـ ] = تكامل [ د س / س ]

لو | قاهـ + ظاهـ | = لو | س | + لو جـ

لــــــو | جذر ( ص^2 + 1 ) + ص | = لـــــــــو س جـ

جذر ( ص^2 + 1 ) + ص = س جـ ========> حل للمعادلة

[سامح الدهشان]

حل المعادلة التفاضلية :

( س - 4 ) ص^4 دس - س^3 ( ص^2 - 3 ) د ص = صفر

مع توضيح الخطوات

...........................................................................

[سامح الدهشان]

حل المعادلة التفاضلية

س ص ( ص )َ = ص + 2

........................................................................

[سامح الدهشان]

حل المعادلة التفاضلية :

( س - 4 ) ص^4 دس - س^3 ( ص^2 - 3 ) د ص = صفر

مع توضيح الخطوات

الحــــــــــــــــــــــل :

( س - 4 ) ص^4 د س = س^3 ( ص^2 - 3 ) د ص

( س - 4 ) / س^3 د س = ( ص^2 - 3 ) / ص^4 د ص

[ س^-2 - 4 س^-3 ] د س = [ ص^-2 - 3 ص^-4 ] د ص

بإجراء التكامل

-1/س + 2 / س^2 = -1/ص + 1/ص^3 + جـ

بالضرب × س^2 ص^3 للطرفين

- س ص^3 + 2 ص^3 = - س^2 ص^2 + س^2 + جـ

[سامح الدهشان]

حل المعادلة التفاضلية

س ص ( ص )َ = ص + 2

الحل : س ص ( د ص / د س ) = ص + 2

س / د س = ( ص + 2 ) /( ص د ص )

د س / س = ص / ( ص + 2 ) د ص

دس / س = [( ص + 2 ) - 2 ] / ( ص + 2 ) د ص

د س / س = [1 - ( 2 / ( ص + 2 ) ) ] د ص

بإجراء التكامل للطرفين

لـــــــو | س | = ص - 2 لــــــــو | ص + 2 | + ثابت

س ( ص + 2 ) - ص = ثابت

[سامح الدهشان]

حل المعادلة التفاضلية :

س ص َ = ص + جذر ( 4 س^2 + ص^2 )

............................................................................

[سامح الدهشان]

حل المعادلة التفاضلية :

ص َ = ( س - ص ) / ( س + 1 )

.........................................................................

[سامح الدهشان]

حل المعادلة التفاضلية :

س ص َ = ص + جذر ( 4 س^2 + ص^2 )

الحـــــــــــــــــل :

دص / د س = ( ص/س ) + جذر ( 4 + [ص/س]^2 )

نحصل علي معادلة متجانسة بأخذ التعويض ==> ص = ل س ==> ص/س = ل

دص = ل دس + س د ل

دص/دس = ل + س دل / دس


ل + س دل /دس = ل + جذر ( 4 + ل^2 )

دل / جذر ( 4 + ل^2 ) = دس / س بأجراء التكامل

بوضع ل = 2 ظا هـ

د ل = 2 قا^2 هـ د هـ ========== جذر ( 4 + ل^2 ) = 2 قاهـ

لـــــو | قاهـ + ظاهـ | = لو | س | + لو جـ

لو | ( جذر ( ل^2 + 4 ) + ل ) / 2 | = لــــــو | س | + لوجـ

جذر( [ ص/س ]^2 + 4 ) + ( ص/ س ) = 2 س جـ

وهذا حل المعادلة

[سامح الدهشان]

حل المعادلة التفاضلية :

( 2 س - 4 ص + 5 ) صَ + ( س - 2 ص + 3 ) = صفر

.................................................................................