تمارين علي الجبر وحساب المثلثات للصف الأول الثانوي ( فصل دراسي أول )

[يسري عطية ( أبو رامي )]

تمارين علي الجبر وحساب المثلثات
للصف الأول الثانوي
فصل دراسي أول
أكمل :
1) الوسط المتناسب بين 5, 20 هو ....................................................
2) 3 , 5 , س , 4 كميات متناسبة فان س = .............................................
3) 6 هو الوسط المتناسب بين 2, م فان م =00000000000000000000000000
4) أ تتناسب طرديا مع س , أ تتناسب طرديا مع ع فإن أ تتناسب طرديا مع 000000000
5) أ ب – 7 = 0 فإن أ تتناسب 000000000000000000000000000
6) ص تتناسب طرديا مع س , ص تتناسب عكسيا مع ع2 فان ص = 0000000000000000
7) أ , س , ب , 3 س في تناسب فإن أ / ب = 00000000000000000000000000
8) أ / ب = ب / 3 = 5 فان أ = 00000000000000000000000000
9) أ / ب = ب / جـ = جـ / 3 = 2 فإن أ =00000, ب = 000000000000
10) أ / 5 = ب / 2 فإن ( 2 أ – ب ) / ( 000) =( أ + ب ) / ( 000)
11) 3 س = 5 ص فان ( س + ص ) / ( س – ص ) = 00000000000000000000
12) س2 + 9 ص2 = 6 س ص فان س : ص = 00000000000000000000000000
13) جا س تنتمي الي [ 0000, 0000] مهما كان قياس الزاوية س
14) جا س = 1/2 , س تنتمي الي ] 0 , 90 [ فان س = 000000000000
15 ) جتا ( 90 – هـ ) = 4/5 فان قتا هـ = 00000000000000000000
16) ظا أ = ظتا ب فان ( أ + ب ) = 000000000000000000
17 ) قا 2 س = قتا 2 س , 0 < س < 90 فان س = 000000000000000000
18) جا 2 س = جتا 4 س فان ظا 3 س = 000000
19) القياس الموجب للزاوية ( - 90 3 ) هو 0000وتقع في الربع 000000000000
20) جتا 2 هـ = جتا ( 90 – هـ ) فان هـ = 0000000000000000
21) الزاوية التي قياسها 2 درجة وطول نصف قطر دائرتها 5 سم تقابل قوس طوله 0000
22) العدد الموجب الذي اذا طرح مربعه من حدي النسبة 9: 14 تصبح 1 : 2 هو 00000
23) جا ( 2 س + 30 ) = جتا ( س – 30 ) فان س = 000ويكون ظا 2 س = 0000
الإجابة
1) + - 10
2) 12/5
3) 18
4) س ص
5) 1/ب
6) م س / ع2
7) 1/3
8) 75
9) 24 , 12
10) 8 , 7
11) 4
12) 3 : 1
13) 0 , 1
14) 30
15) 5/4
16) 1
17) 30
18) 1
19) 330 , الرابع
20) 30
21) 10
22) 2
23) 30 , جذر 3
السؤال الثاني
ص & س عند ثبوت ع , ص & 1/ع2 عند ثبوت س وكانت ص = 6 عندما س = 8 , ع = 2
أوجد قيمة ص عندما س = 5 , ع = جذر 3
الحل
ص & س/ع2
ص = م س / ع2
6 = م × 8/4
م = 3
ص = 3 س / ع2
ص = 3 × 3/5 = 5

[سامح الدهشان]

) جا س تنتمي الي [ 0000, 0000] مهما كان قياس الزاوية س

جاس تنتمي الي الفترة [ - 1 ، 1 ]

) ظا أ = ظتا ب فان ( أ + ب ) = 000000000000000000

فإن ( أ + ب ) = 90 درجة

) قا 2 س = قتا 2 س , 0 < س < 90 فان س = 000000000000000000

2 س + 2 س = 90 ===> س = 22.5

8) جا 2 س = جتا 4 س فان ظا 3 س = 000000

2 س + 4 س = 90 ===> 6 س = 90 ===> 3 س = 45

ظا3 س = ظا45 = 1

[يسري عطية ( أبو رامي )]

إذا كان أ , ب , جـ في تناسب أثبت أن ( أ^2 + ب^2 ) / ( ب^2 + جـ^2 ) = أ / جـ
الحل
أ / ب = ب / جـ = م
ب = جـ م
أ = جـ م^2
الطرف الايمن = ( جـ^2 م^4 + جـ^2 م^2 ) / ( جـ^2 م^2 + جـ^2 )
= جـ^2 م^2 ( ( م^2 + 1 ) / جـ^2 ( م^2 + 1 ) = م^2
الايسر = أ / جـ = جـ م^2 / جـ = م^2 =
الطرفان متساويان

[يسري عطية ( أبو رامي )]

اذا كان
( س + ص ) /3 = ( ص + ع ) / 5 = ( ع + س ) / 6
اثبت أن
( س + ص + ع ) / 7 = ( ع - ص ) / 3
الحل
مجموع المقدمات علي مجموع التوالي = احدي النسب
( ( 2 س + 2ص + 2 ع ) / 14 = ( س + ص + ع ) / 7 = احدي النسب
النسبة الثالثة - النسبة الاولي = احدي النسب
( ع + س - س - ص ) / 3 = ( ع - ص ) / 3 = احدي النسب
اذن
( س + ص + ع ) / 7 = ( ع - ص ) / 3

[يسري عطية ( أبو رامي )]

اذا كان 5 س = 3 ص أوجد قيمة
( 2 س + ص ) / س + 3 ص )
الحل
بفرض أن س / ص = 3/5 = ك
س = 3 ك , ص = 5 ك
( 2 س + ص ) / س + 3 ص ) = ( 2 × 3 ك × 5 ك ) / ( 3 ك × 3 × 5 ك )
= 11 ك / 18 ك = 11 / 18

[يسري عطية ( أبو رامي )]

ص = أ + ب , أ ثابت , ب & س , ص = 7 عندما س = 2 , ص = 16 عندما س = 5
أوجد العلاقة بين س , ص ثم أوجد قيمة ص عندما س = 1
ملاحظة ( العلامة & تعني تتناسب مع )
الحل
ص = أ + م س
7 = أ + 2 م
16 = أ + 5 م
بحل المعادلتين
م = 3 , أ = 1
ص = 1 + 3 س
عندما س = 1
ص = 1 + 3 × 1 = 4

[يسري عطية ( أبو رامي )]

اذا كانت ( س + 2 ص ) / (3 س - ص ) = 1/2
أثبت أن ص & س
الحل
2 س + 4 ص = 3 س - ص
4 ص + ص = 3 س - 2 س
5 ص = س
ص = ( 1/5 ) س
ص = ثابت × س
ص & س

[يسري عطية ( أبو رامي )]

أوجد القياس الدائري والستبني لزاوية مركزية تقابل قوس طوله 10 سم في دائرة طول نصف قطرها 8 سم
الحل
هـ ( دائري ) = ل / نق = 10 / 8 = 25و1
س( درجة ) / 180 = هـ ( دائري ) / ط
س =( 25و1 / ط ) × 180 = 71 درجة , 38 دقيقة

[يسري عطية ( أبو رامي )]

إذا كان
15 ظا س + 8 = 0 وكانت 90< س < 180 أوجد قيمة 2 جا س جتا س
الحل :
15 ظا س + 8 = 0
15 ظا س = - 8
ظا س = - 8 / 15
90< س < 180
س تقع في الربع الثاني
2 جا س جتا س = 2 × ( 8/17) × ( -15/ 17 ) = - 240/ 289

[يسري عطية ( أبو رامي )]

بدون استخدام الحاسبة أوجد قيمة
جتا 30 حا 120 + جا 135 جتا 405 – جا( 3ط / 2 )
الحل :
المقدار = جتا 30 × جا 60 + جا 45 × جتا 45 – جا 270
المقدار = (جذر 3 /2 ) × ( جذر 3 /2) × ( 1/ جذر 2 ) × ( 1 / جذر 2 ) – ( - 1 )
المقدار = 9/4

[يسري عطية ( أبو رامي )]

إذا كان جا أ = 3/5 حيث 90< أ < 180 , جتا ب = 3/5 حيث 270 < ب < 360
أوجد قيمة حا أ جتا ب + جتا أ جا ب
الحل :
زاوية أ تقع في الربع الثاني , زاوية ب تقع في الربع الثالث
وبعد رسم الزاويتين نجد أن
المقدار = ( 3/5 ) × ( 5/13 ) + ( -4/5 ) × ( -12/13 ) = 63/65

[يسري عطية ( أبو رامي )]

الهندسة التحليلية :
البعد بين نقطتين :
أ = ( س1 , ص1 ) , ب = ( س2 , ص2 )
أ ب = جذر [( س2 –س1 )2 + ( ص2 – ص1 )2 ]
أ ب = جذر [ مربع فرق السينات + مربع فرق الصادات ]
مثال :
أثبت أن النقط أ = ( 1 , 4 ) , ب = ( 3 , -2 ) , جـ = ( -3 , 16 ) علي استقامة واحدة
الحل :
أ ب = جذر [ ( 1 – 3 )2 + ( 4 + 2 )2 ] = جذر ( 4 + 36 ) = جذر 40 = 2 جذر 10
ب جـ = جذر [ ( 3+ 3 )2 + ( -2 -16 )2 ] = جذر ( 36+ 324 ) = جذر 360= 6 جذر10
أ جـ = جذر [ ( 1 +3 )2 + ( 4 -16 )2 ] = جذر ( 16 + 144 ) = جذر 160= 4جذر10
ب جـ = أ ب + أ جـ
أ , ب , جـ علي استقامة واحدة

[يسري عطية ( أبو رامي )]

التقسيم :
إذا كان
أ = ( 2 , - 1 ) , ب = ( - 3 , 4 ) , جـ تنتمي ألي أ ب قطعة مستقيمة بحيث
2 أ جـ = 3 جـ ب
أوجد احداثي النقطة جـ
الحل :
س =[ ( 3 × -3 ) + ( 2 × 2 ) ] / ( 3 + 2 ) = - 5 / 5 = - 1
ص = [ ( 3 × 4 ) + ( 2 × -1 ) ] / ( 3 + 2 ) = 10/5 = 2
جـ = ( - 1 , 2 )

[يسري عطية ( أبو رامي )]

أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين ( 2 , 3 ) . ( 4 , - 1 )
الحل :
( ص – ص1 ) / ( س – س1 ) = ( ص2 – ص1 ) / ( س2 – س1 )
( ص – 3 ) / ( س – 2 ) = ( - 1 – 3 ) / ( 4 – 2 ) = - 2 / 1
2 س + ص – 7 = 0

[يسري عطية ( أبو رامي )]

أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ( 3 , -2 ) عموديا علي المستقيم 2 س + 5 ص – 7 = 0
الحل :
ميل المستقيم المعلوم = - معامل س / معامل ص = - 2 / 5
ميل المستقيم المطلوب = 5/2
( ص – ص1 ) / ( س – س1 ) = م
( ص + 2 ) / ( س – 3 ) = 5/2
5 س – 2 ص – 19 = 0

[يسري عطية ( أبو رامي )]

أوجد معادلة المستقيم المار بمنتصف أ ب حيث أ = (-3 , 9 ) , ب = ( - 1, 3 ) ويوازي المستقيم 2 س + 3 ص = 6
الحل :
نقطة التنصيف = [ ( س1 + س2 ) / 2 , ( ص1 + ص2 ) / 2 ]
=[ ( - 3 – 1 ) / 2 , ( 9 + 3 ) / 2 ] = ( - 2 , - 6 )
ميل المستقيم = - معامل س / معامل ص = - 2 / 3
( ص – ص1 ) / ( س – س1 ) = م
ص – 6 / س + 2 = -2/3
2س + 3 ص – 14 = 0

[يسري عطية ( أبو رامي )]

ملا حظات هامة :
(1 ) نقطة التقاطع مع مجور السينات هي ( س , 0 )
( 2 ) نقطة التقاطع مع مجور الصادات هي (0 , ص )
أوجد النقطة التي تنقسم بها القطعة المستقيمة أ ب بنقطة تقاطعها مع محور السينات
حيث أ = ( 3 , - 2 ) , ب = ( - 2 , 3 )
الحل :
نقطة التقاطع مع مجور السينات هي ( س , 0 )
صفر = ( م1 ص2 + م2 ص1 ) / ( م1 + م2 )
صفر = ( م1 × 5 + م2 × - 2 ) / ( م1 + م2 )
صفر = 5 م1 – 2 م2
5 م1 = 2 م2
م1 : م2 = 2 : 5

[يسري عطية ( أبو رامي )]

معادلة الخط المستقيم :
( 1 ) بمعلومية ميله م ونقطة عليه ( س1 , ص1 )
( ص - ص1 ) / ( س - س1 ) = م
( 2 ) بمعلومية نقطتين عليه ( س1 , ص1 ) , ( س2 , ص2 )
( ص - ص1 ) / ( س - س1 ) = ( ص2 - ص1 ) / ( س2 - س1 )
( 3 ) بمعلومية ميله والجزء المقطوع من محور الصادات جـ :
ص = م س + جـ
مثال :
أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ( - 2 , 5 ) وميله = 1 / 4
الحل :
( ص - ص1 ) / ( س - س1 ) = م
( ص - 5 ) / ( س + 2 ) = 1/4
س – 4 ص + 22 = 0

[يسري عطية ( أبو رامي )]

الزاوية بين مستقيمين :
ظا هـ = ( م1 – م2 ) / ( 1 + م1 م2 )
م1 ميل المستقيم الاول
م2 ميل المستقيم الثاني
مثال :
أوجد الزاوية بين المستقيمين :
ل1 : س – 2 ص + 9 = 0
ل2 : 2 س + 4 ص – 3 = 0
الحل :
م1 = 1/2
م2 = -1/2
ظا هـ = ( م1 – م2 ) / ( 1 + م1 م2 )
ظا هـ = [ ( 1/2 ) + ( 1/2 ) ] / [ 1 + ( 1/2 ) × ( -1/2 ) ] = 4/3
باستخدام الحاسبة
هـ =53 درجة , 8 دقائق

[يسري عطية ( أبو رامي )]

مثال :
اذا كان قياس الزاوية بين المستقيمين :
س + أ ص – 8 = 0 ,
4 س – 4 ص + 9 =0
تساوي 45 درجة أوجد قيمة أ
الحل :
م1 = - 1/أ
م2 = 2
ظا 45 = ( م1 – م2 ) / ( 1 + م1 م2 )
1 = [ (- 1/أ ) - ( 2 ) ] / [ 1 – ( 2/ أ ) ]
أ = 1/3
.....................................................................................................
طول العمود من نقطة ( س1 , ص1 ) علي المستقيم أ س + ب ص + جـ = 0
طول العمود =[ القيمة المطلقة ( أ س1 + ب ص1 + جـ ) ] /[ الجذر التربيعي ( أ2 + ب2 ) ]