34 مسالة يؤدي حلها الي استعمال معادلات من الدرجة الثانية

[مجدى عبد السلام]

1
سار قطار 300 كم متر بسرعة منتظمة لو انها زادت خمسة كيلومترات في الساعة لنقص الزمن الذي استغرقه ساعتين .فما سرعة القطار؟

[مجدى عبد السلام]

2
باع رجل حصانا بمبلغ 72 جنيها فوجد ان خسارته في المائة تساوي 1/8 عدد الجنيهات التي دفعها ثمنا للحصان .فبكم اشتري الحصان ؟

[مجدى عبد السلام]

3
حوض يمكن ان تملأه حنفيتان في 100/3 من الدقائق فاذا كانت الحنفية الكبري تملأ الحوض في زمن اقل مما تملؤه فيه الصغري بمقدار 15 دقيقة .فما مقدار الزمن الذي تملأ كل منهما فيه الحوض بمفردها؟

[مجدى عبد السلام]

4
رجل يمكنه ان يقطع 24 كيلو مترا في نهر في 5 ساعات اذا جدف نصف المسافة مع التيار ومشي النصف الآخر علي الشاطئ ولو جدف نصف المسافة في الجهة المضادة للتيار لأحتاج الي 7 ساعات لقطع المسافة بأجمعها . أما اذا كان الماء راكدا فانه يستغرق في قطع المسافة جادفا 17/3 من الساعات .فما سرعته اذا مشي وما سرعته اذا جدف وما سرعة التيار؟

[أحمد سعد الدين]

1
سار قطار 300 كم متر بسرعة منتظمة لو انها زادت خمسة كيلومترات في الساعة لنقص الزمن الذي استغرقه ساعتين .فما سرعة القطار؟


نفرض أن السرعة المنتظمة = ع كم/ساعة
والزمن المستغرق = ن ساعة

المسافة المقطوعة = السرعة المنتظمة × الزمن المستغرق
300 = ع × ن ...... ، ومنها : ن = 300 / ع

300 = (ع + 5)(ن - 2) = (ع + 5)(300/ع - 2)

ع^2 + 5 ع - 750 = 0
(ع - 25)(ع + 30) = 0

حيث السرعة المنتظمة فى اتجاه المسافة (قيمة موجبة)

سرعة القطار = 25 كم/س

[مجدى عبد السلام]

مشكور أيها الأستاذ العظيم..
كيف لنا نلعب ونغير في رأس السؤال لكي تصبح الأجابه السابقة معكوسه نقبل 30 ونرفض 25؟

[أحمد سعد الدين]

مشكور أيها الأستاذ العظيم..
كيف لنا نلعب ونغير في رأس السؤال لكي تصبح الأجابه السابقة معكوسه نقبل 30 ونرفض 25؟

بارك فيك الأستاذ مجدى

ويمكن بتعديل معطيات التمرين ليكون :


سار قطار 300 كم متر بسرعة منتظمة لو انها نقصت خمسة كيلومترات في الساعة لزاد الزمن الذي استغرقه ساعتين .فما سرعة القطار؟

ويكون الحل بنفس الطريقة السابقة :


نفرض أن السرعة المنتظمة = ع كم/ساعة
والزمن المستغرق = ن ساعة

المسافة المقطوعة = السرعة المنتظمة × الزمن المستغرق
300 = ع × ن ...... ، ومنها : ن = 300 / ع

300 = (ع - 5)(ن + 2) = (ع - 5)(300/ع + 2)

ع^2 - 5 ع - 750 = 0
(ع - 30)(ع + 25) = 0

حيث السرعة المنتظمة فى اتجاه المسافة (قيمة موجبة)

سرعة القطار = 30 كم/س


للتحقق :

الزمن المستغرق لقطع مسافة 300 كم بسرعة منتظمة 30 كم/س = 300 / 30 = 10 ساعة

عند نقص السرعة بمقدار 5 كم/س

تكون السرعة = 30 - 5 = 25 كم/س

ويكون الزمن المستغرق = 300 / 25 = 12 ساعة

الزيادة فى الزمن = 12 - 10 = 2 ساعة

[أحمد سعد الدين]

2

باع رجل حصانا بمبلغ 72 جنيها فوجد ان خسارته في المائة تساوي 1/8 عدد الجنيهات التي دفعها ثمنا للحصان .فبكم اشتري الحصان ؟


نفرض أن ثمن الشراء = س جنيها

قيمة الخسارة بالجنيه ( مع إهمال الاشارة السالبة ) = ثمن الشراء - قيمة البيع = س - 72 جنيها

النسبة المئوية للخسارة = [( قيمة الخسارة ) ÷ ( ثمن الشراء )] × 100 = [(س - 72)/(س)]×100

وهى تساوى 1/8 * ثمن الشراء

إذن :

[(س - 72)/(س)]×100 = س/8

س^2 - 800 س + 800×72 = 0

(س - 80)(س - 720) = 0

س = 80 أو س = 720

والقيمتان تحققان الشروط

وبالرغم من زيادة قيمة الخسارة بالجنيه عندما يكون ثمن الشراء 720 جنيه حيث = 720 - 72 = 648 جنيه

إلا أنه منطقى فقد يكون الحصان المباع مريضا أو هزيلا ففقد نفعه ، وتم بيعه لحديقة الحيوان لاطعام السباع مثلا .

أما عن ثمن الشراء بمبلغ 80 جنيه فهو لا يتناسب مع السعر المتداول بالسوق ، وقد يجوز أن يكون بأسعار منذ 30 عاما فأكثر

والله أعلم

[مجدى عبد السلام]

2
باع رجل حصانا بمبلغ 72 جنيها فوجد ان خسارته في المائة تساوي 1/8 عدد الجنيهات التي دفعها ثمنا للحصان .فبكم اشتري الحصان ؟
بداية أخري
نفرض أن الرجل أشتري الحصان بمبلغ س من الجنيهات فتكون خسارته في المائة جنيه ( س / 8) من الجنيهات
وتكون الخسارة في س من الجنيهات [ س في س/800] أي ( س^2 /800 ) من الجنيهات
الثمن الذي يبيع به الحصان = س ــــ ( س^2 /800) = 72
س^2 ـــ 800 س + 57600= 0
س = 80 أو س = 720

[مجدى عبد السلام]

5
ما العدد الذي إذا طرح من مربعه 119 يكون باقي الطرح مساويا لعشرة أمثال باقي طرح 8 من هذا العدد ؟

[مجدى عبد السلام]

6
عمر رجل خمسة أمثال عمر ولده ومجموع مربعي عمريهما 2106 فما عمرهما ؟

[مجدى عبد السلام]

7
مجموع مقلوبي عددين متتالين ( 15 ÷ 56 ) فما العددان ؟
..........................................

[مجدى عبد السلام]

8
ما العدد الذي إذا أضيف إليه 17 يصير الناتج مساويا مقلوب هذا العدد ستين مرة؟

[مجدى عبد السلام]

9
ما العددان اللذان مجموعهما 9 أمثال فرقهما وفرق مربعيهما 81 ؟

[مجدى عبد السلام]

10
حاصل جمع عدد ومربعه تسعة أمثال العدد الذي يليه في الكبر فما العدد ؟

[أحمد سعد الدين]

3
حوض يمكن ان تملأه حنفيتان في 100/3 من الدقائق فاذا كانت الحنفية الكبري تملأ الحوض في زمن اقل مما تملؤه فيه الصغري بمقدار 15 دقيقة .فما مقدار الزمن الذي تملأ كل منهما فيه الحوض بمفردها؟

نفرض أن :

حجم الحوض = (ح) لتر
معدل الملأ للحنفية الكبرى = (ك1) لتر/دقيقة
معدل الملأ للحنفية الصغرى = (ك2) لتر/دقيقة

الزمن اللآزم لملأ الحوض بالحنفية الكبرى منفردة = ن1 دقيقة = ح/ك1 ... ، ومنها : ك1 = ح/ن1

الزمن اللآزم لملأ الحوض بالحنفية الصغرى منفردة = ن2 = ح/ك2 دقيقة ... ، ومنها : ك2 = ح/ن2

ن1 = ن2 - 15

الزمن اللآزم لملأ الحوض بكلتا الحنفيتان فى نفس الوقت = 100/3 دقيقة = ح/(ك1 + ك2)

100/3 = ح/[(ح/ن1) + (ح/ن2)] = (ن1 × ن2) ÷ (ن1 + ن2)

3×ن1×ن2 = 100×ن1 + 100×ن2

3×(ن2 - 15)×ن2 = 100×(ن2 - 15) + 100×ن2

3(ن2)^2 - 45(ن2) = 100(ن2) - 1500 + 100(ن2)

3(ن2)^2 - 245(ن2) + 1500 = 0

باستخدام القانون العام لحل معادلة الدرجة الثانية فى مجهول واحد ، ينتج :

ن2 75 دقيقة أو ن2 = 20/3 دقيقة

عند ن2 = 75 ـــــــ> ن1 = 75 - 15 = 60 دقيقة

عند ن2 = 20/3 ـــــ> ن1 = 20/3 - 15 = - 25/3 ( مرفوضة)

ويكون :

زمن ملأ الحوض بالحنفية الكبرى منفردة = 60 دقيقة
زمن ملأ الحوض بالحنفية الصغرى منفردة = 75 دقيقة

للتحقق :

زمن ملأ الحوض بالحنفيتان سويا = (60×75) ÷ (60 + 75) = 100/3 دقيقة

[مجدى عبد السلام]

شكراا أستاذي العظيم
وإليك مدخل أخر للحل
نفرض أن الزمن الذي تملؤه فيه الحنفية الصغري س من الدقائق فيكون الزمن الذي تملؤه فيه الحنفيه الكبري س ـــ 15 من الدقائق
فإذا فتحتا معا تملآن [ 1/( س) + 1/( س ــ 15 )] من الحوض في الدقيقة
ولكونهما تملآن حسب منطوق المسألة 1 ÷ ( 100 ÷ 3 ) أو ( 3 ÷ 100) في الدقيقة
أذن
1/(س) + 1/( س ــ 15 ) = 3 ÷ 100
100( 2 س ــ 15 ) = 3س ( س ــ 15 )
3س^2 ــ 245 س + 1500 = 0
س = 75 أو س = 20/3
الصغري تملؤه في 75 دقيقة
والكبري في 60 دقيقة
والناتج الثاني غير مقبول منطقيا.

[أحمد سعد الدين]

4
رجل يمكنه ان يقطع 24 كيلو مترا في نهر في 5 ساعات اذا جدف نصف المسافة مع التيار ومشي النصف الآخر علي الشاطئ ولو جدف نصف المسافة في الجهة المضادة للتيار لأحتاج الي 7 ساعات لقطع المسافة بأجمعها . أما اذا كان الماء راكدا فانه يستغرق في قطع المسافة جادفا 17/3 من الساعات .فما سرعته اذا مشي وما سرعته اذا جدف وما سرعة التيار؟

نفرض أن :

سرعة المشى = ع كم/س
سرعة التجديف = ج كم/س
سرعة التيار = ت كم/س

السرعة منتظمة
فيكون : السرعة = المسافة المقطوعة / الزمن المستغرق

حسب مفهومى من معطيات التمرين :

ج = 24 ÷(17/3) = 4.235 كم/س

5 = [12 ÷(ج + ت)] + [12 ÷ ع]......... (1)

7 = [12 ÷(ج - ت)] + [12 ÷ ع]......... (2)

بالتعويض عن قيمة ج فى كلا المعادلتين (1) ، (2)

وبالطرح (2) - (1)

ينتج معادلة من الدرجة الثانية فى (ت) ، وباسخدام القانون العام ينتج :

ت = 1.344 كم/س

وبالتعويض عن قيمة ت فى احدى المعادلتين (1) أو (2) ينتج :

ع = 4.1 كم/س

تنويه :

الحمد لله على نعمة الحاسبات ، فالأرقام كبيرة

ومنذ 47 عاما ، وأنا طالب فى كلية الهندسة لم يكن معنا وسيلة سوى slide rule ، وتعطى أرقام تقريبية لاعتمادها على مهارة اليد فى الاستخدام .

بارك الله فى أبنائنا

[أحمد سعد الدين]

5
ما العدد الذي إذا طرح من مربعه 119 يكون باقي الطرح مساويا لعشرة أمثال باقي طرح 8 من هذا العدد ؟

نفرض العدد = س

س^2 - 119 = 10×(س - 8) = 10 س - 80

س^2 - 10 س - 39 = 0
(س - 13)(س + 3) = 0

س = 13 أو س = - 3

ويحققان الشرط

[أحمد سعد الدين]

6
عمر رجل خمسة أمثال عمر ولده ومجموع مربعي عمريهما 2106 فما عمرهما ؟

نفرض أن :
عمر الأب = س عام
عمر الابن = ص عام

س = 5 ص
س^2 + ص^2 = 2106

26 ص^2 = 2106
ص^2 = 81

ص = 9 أعوام
س = 45 عام

[مجدى عبد السلام]

4
رجل يمكنه ان يقطع 24 كيلو مترا في نهر في 5 ساعات اذا جدف نصف المسافة مع التيار ومشي النصف الآخر علي الشاطئ ولو جدف نصف المسافة في الجهة المضادة للتيار لأحتاج الي 7 ساعات لقطع المسافة بأجمعها . أما اذا كان الماء راكدا فانه يستغرق في قطع المسافة جادفا 17/3 من الساعات .فما سرعته اذا مشي وما سرعته اذا جدف وما سرعة التيار؟


4
رجل يمكنه ان يقطع 24 كيلو مترا في نهر في 5 ساعات اذا جدف نصف المسافة مع التيار ومشي النصف الآخر علي الشاطئ ولو جدف نصف المسافة في الجهة المضادة للتيار لأحتاج الي 7 ساعات لقطع المسافة بأجمعها . أما اذا كان الماء راكدا فانه يستغرق في قطع المسافة جادفا 17/3 من الساعات .فما سرعته اذا مشي وما سرعته اذا جدف وما سرعة التيار؟


نفرض أن الرجل يمشي بسرعة س من الكيلو مترات في الساعة ويجدف بسرعة ص من الكيلو مترات في الساعة وان سرعة التيار ع من الكيلو مترات في الساعة
فاذا جدف مع التيار تكون سرعته ص + ع من الكيلو مترات في الساعة واذاجدف في الجهة المضادة للتيار تكون السرعة ص ــ ع من الكيلومترات في الساعة
ومن ذلك نستنتج المعادلات الاتية:
12/ س + 12 / ( ص + ع) = 5 ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ( 1)
12/ س + 12/ ( ص ــ ع ) = 7 ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـ(2)
12/س + 12/ ص = 17/3 ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــ(3)
وبطرح( 1) من (3) يحدث أن
1/ص ـــ 1/ ( ص + ع ) = 1/18 ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ(4)
بطرح أن ( 3) من (2)
1/( ص ـــ ع) ـــ 1/ص = 1/9 ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ(5)
من (4)
18 ع = ص ( ص + ع ) ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ(6 )
من (5)
9 ع = ص ( ص ــ ع ) ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ(7)
بقسمة (6) علي (7)
2 = ( ص + ع ) / ( ص ــ ع )
ص = 3 ع
من ( 4)
ينتج ان:
ع = 1.5 وتكون ص = 4.5 وتكون س = 4
فسرعته إذا مشي إذن 4 كيلو مترات في الساعة وسرعته إذا جدف 4.5من الكيلو مترات في الساعة وسرعة التيار 1.5 منالكيلومترات في الساعة.

[أحمد سعد الدين]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

بارك الله فيك الأستاذ مجدى

ولكن صيغة التمرين فى الجزئية :


أما اذا كان الماء راكدا فانه يستغرق في قطع المسافة جادفا 17/3 من الساعات

ولم يتم الاشارة الى نصف المسافة جادفا ، والنصف الآخر للمسافة ماشيا على الشاطئ

كما تم الاشارة إليها فيما سبقها :


رجل يمكنه ان يقطع 24 كيلو مترا في نهر في 5 ساعات اذا جدف نصف المسافة مع التيار ومشي النصف الآخر علي الشاطئ ولو جدف نصف المسافة في الجهة المضادة للتيار لأحتاج الي 7 ساعات لقطع المسافة بأجمعها .

ويا حبذا لو تمت تلك الاضافة بالتمرين حتى لا يلتبس الفهم عند الطالب كما حدث لى - بأنه قطع المسافة كلها جادفا ، وليست نصفها جادفا والنصف الآخر ماشيا على الشاطئ

ولك الشكر والتقدير

[أحمد سعد الدين]

7
مجموع مقلوبي عددين متتالين ( 15 ÷ 56 ) فما العددان ؟

الحل بطريقة التحليل الرياضى :

15/56 = (8 + 7)÷ (8 × 7) = 1/7 ، 1/8
ويكون العددان هما : 7 ، 8

15/56 = [15 *(8 - 7)]÷ [8 × 7] = 15/7 - 15/8
ويكون العددان هما : 7/15 ، - 8/15


الحل بالطريقة الجبرية :

نفرض أن العددين هما : أ ، ب

أ - ب = 1 ........... ، ومنها : أ = 1 + ب

1/أ + 1/ب = 15/56

(أ + ب)/أ*ب = 15/56

(1 + 2 ب)× 56 = (ب + ب^2)× 15

15 ب^2 - 97 ب - 56 = 0

باستخدام القانون العام لحل معادلة الدرجة الثانية فى مجهول واحد

ب = 7 ............. ، ومنها : أ = 8

أو

ب = - 8/15 ........ ، ومنها : أ = 7/15

[أحمد سعد الدين]

8
ما العدد الذي إذا أضيف إليه 17 يصير الناتج مساويا مقلوب هذا العدد ستين مرة؟

نفرض أن العدد = أ

أ + 17 = 60 / أ

أ^2 + 17 أ - 60 = 0
(أ - 3)(أ + 20) = 0

أ = 3 أو أ = - 20

تحققان الشروط


حل آخر :

معادلة الدرجة الثانية فى مجهول واحد على الصورة :

س^2 - (مجموع جذرى المعادلة)*س + (حاصل ضرب الجذرين) = 0

أ^2 + 17 أ - 60 = 0

أ^2 - (- 17)*أ + (- 60) = 0

- 17 = - 20 + 3
- 60 = - 20 × 3

أ = 3 أو أ = - 20

[أحمد سعد الدين]

9
ما العددان اللذان مجموعهما 9 أمثال فرقهما وفرق مربعيهما 81 ؟

نفرض أن العددان هما : أ ، ب

أ + ب = 9 (أ - ب)
أ^2 - ب^2 = 81

(أ - ب)(أ + ب) = 81
9 (أ - ب)^2 = 81
(أ - ب)^2 = 9
(أ - ب) = + 3 أو - 3

عند (أ - ب) = 3
يكون : (أ + ب) = 27
وينتج أن :
أ = 15 ، ب = 12

عند (أ - ب) = - 3
يكون : (أ + ب) = - 27
وينتج أن :
أ = - 15 ، ب = - 12

[مجدى عبد السلام]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

بارك الله فيك الأستاذ مجدى

ولكن صيغة التمرين فى الجزئية :



ولم يتم الاشارة الى نصف المسافة جادفا ، والنصف الآخر للمسافة ماشيا على الشاطئ

كما تم الاشارة إليها فيما سبقها :



ويا حبذا لو تمت تلك الاضافة بالتمرين حتى لا يلتبس الفهم عند الطالب كما حدث لى - بأنه قطع المسافة كلها جادفا ، وليست نصفها جادفا والنصف الآخر ماشيا على الشاطئ

ولك الشكر والتقدير
أستاذنا العظيم / أستاذ أحمد
نحن متفقين علي عظمتك وعظمة ملاحظاتك الدقيقة ولك كل الحق فيما قلت .
وأعتذر عن هذا الخطأ الغير المقصود حيث أنها منقولة بالنص من المصدر.

[أحمد سعد الدين]

10
حاصل جمع عدد ومربعه تسعة أمثال العدد الذي يليه في الكبر فما العدد ؟

نفرض أن العدد = أ

أ + أ^2 = 9 (أ + 1)
أ^2 - 8 أ - 9 = 0

أ^2 - [(9 + (- 1)]* أ + (9 × - 1) = 0

أ = 9 أو أ = - 1

يحققان الشروط

[مجدى عبد السلام]

11
إذا زادت سرعة قطار 5 كم /س فأنه يقطع مسافة 210كم في زمن أقل بساعة مما يقطع فيه هذه المسافة نفسها لو سار بسرعته الأصلية .فما الزمن الذي يقطع فيه القطار هذه المسافة ؟

[مجدى عبد السلام]

12
أوجد عددين مجموعهما 12 ومجموع مربعيهما 74 ؟
.......................

[مجدى عبد السلام]

13
محيط حقل مستطيل الشكل 500متر ومسطحه 14400متر مربع .فما طول أضلاعه؟

[مجدى عبد السلام]

14
محيط مربع يزيد علي محيط مربع آخر 100متر ومساحة الأكبر تزيد علي ثلاثة أمثال مساحة الاصغر 325 مترا مربعا . فما طول ضلع كل منهما ؟

[سامح الدهشان]

13
محيط حقل مستطيل الشكل 500متر ومسطحه 14400متر مربع .فما طول أضلاعه؟
نفرض أن بعدي الحقل هما س ، ص حيث س > 0 ، ص > 0

س + ص = 250 =========> ( 1 )

س ص = 14400 =========> ( 2 )

بضرب المعادلة الاولي × س

س^2 + 14400 = 250 س

س^2 - 250 س + 14400 = صفر

( س - 160 ) ( س - 90 ) = صفر

س = 160 متر ، ص = 90 متر

[مجدى عبد السلام]

15
قطع مسافر 108كم فوجد انه كان من الممكن ان يوفر 4.5 ساعة اذا زادت سرعته كيلو مترين في الساعة.فما السرعة التي قطع بها المسافة ؟

[مجدى عبد السلام]

16
اشتريت كرات خشبية بخمسة جنيهات ولو نقص ثمن الكرة خمسة قروش لأمكني أن أشتري بالمبلغ نفسه خمسة كرات زيادة علي ما أشتريت . فما ثمن الكرة ؟

[مجدى عبد السلام]

17
اشتري ولد بيضا بمبلغ 5 جنيهات وانكسر منه في الطريق اربع بيضات فزاد بذلك ثمن كل 8 بيضات نصف جنيه علي سعر السوق. فبكم بيضة رجع بها الولد ؟

[سامح الدهشان]

حل تمرين رقم ( 14 )
14
محيط مربع يزيد علي محيط مربع آخر 100متر ومساحة الأكبر تزيد علي ثلاثة أمثال مساحة الاصغر 325 مترا مربعا . فما طول ضلع كل منهما ؟

محيط مربع يزيد عن محيط مربع أخر بمقدار 100 م

==> 4 س - 4 ص = 100

==> س - ص = 25 ============> ( 1 )

مساحة المربع الأكبر تزيد عن ثلاث أمثال مساحة المربع الأصغر بمقدار 325 م مربع

س^2 - 3 ص^2 = 325 ==========> ( 2 )

من المعادلة ( 1 ) س = 25 + ص

بالتعويض في ( 2 )

( 25 + ص)^2 - 3 ص^2 = 325

625 + 50 ص + ص^2 - 3 ص^2 = 325

2 ص^2 - 50 ص - 300 = صفر

ص^2 - 25 ص - 150 = صفر

( ص - 30 ) ( ص + 5 ) = صفر

ص = 30 م ، س = 55 م

[مجدى عبد السلام]

18
ما ثمن 12 بيضة اذا علم انه لو زيد 5 بيضات علي ما يشتري بمبلغ 5 جنيهات لنقص ثمن الـ 12 بيضة 60 قرشا ؟

[مجدى عبد السلام]

19
طول قطعة ارض 50 مترا وعرضها 34 مترا وحولها طريق عرضه منتظم ومساحته 540متر مربع . فما عرض الطريق ؟

[مجدى عبد السلام]

20
يمكن تبليط صالة بــ 200 بلاطة مربعة متساويه المساحة ولو زاد كل من طول البلاطة وعرضها سنتيمترا للزم للتبليط 128 بلاطة فقط. فما طول البلاطة ؟

[مجدى عبد السلام]

21
في وسط حديقة مربعة قطعة ارض مربعة ايضا مزروعة فاكهة وحول هذه القطعة طريق مرصوف بالحجارة الصغيرة عرضه 4 امتار وحوله حافة من الازهار عرضها 6 امتار .
فاذاكان مسطح حافة الازهار وقطعة الفاكهة معا 721 مترا مربعا . فما مسطح قطعة الفاكهة وحدها ؟

[سامح الدهشان]

15
قطع مسافر 108كم فوجد انه كان من الممكن ان يوفر 4.5 ساعة اذا زادت سرعته كيلو مترين في الساعة.فما السرعة التي قطع بها المسافة ؟

نفرض أن السرعة التي يتحرك بها الشخص ع كم / ساعة

وزمن قطع المسافة 108 كم هـــــــــــــو ن ثانية

بفرض أن السرعة والمسافة في أتجاه وأحد وهو الأتجاه الموجب للحركة وهذا فرضا ً

المسافة = السرعة × الزمن

108 = ع ن ===========> ( 1 )

عند توفير الزمن =========> الزمن يصبح ( ن - 4.5 )

زيادة السرعة ===========> ( ع + 2 ) ليقطع نفس المسافة

108 = ( ع + 2 ) ( ن - 4.5 )

108 = ع ن - 4.5 ع + 2 ن - 9

2 ن - 4.5 ع = 9

4 ن - 9 ع = 18 =============> ( 2 )

بضرب المعادلة الثانية × ع

4 ع ن - 9 ع^2 = 18 ع

9 ع^2 + 18 ع = 4 × 108 بالقسمة علي 9

ع^2 + 2 ع = 48

( ع + 8 ) ( ع - 6 ) = صفر

ع = - 8 كم / ساعة عكس أتجاه الحركة مرفوض

ع = 6 كم / ساعة في نفس أتجاه الحركة ( مقبول )

[سامح الدهشان]

16
اشتريت كرات خشبية بخمسة جنيهات ولو نقص ثمن الكرة خمسة قروش لأمكني أن أشتري بالمبلغ نفسه خمسة كرات زيادة علي ما أشتريت . فما ثمن الكرة ؟

نفرض أن عدد الكرات الخشبية = ن كرة

وثمن الكرة = س جنيها ً أو قرشا ً علي حسب التحويل

ن س = 5 ==========> ( 1 )

( ن + 5 ) ( س - 0.05 ) = 5

ن س - 0.05 ن + 5 س - 0.25 = 5

5 س - 0.05 ن = 0.25 × 100

500 س - 5 ن = 25 ÷ 5

100 س - ن = 5 ==========> ( 2 )

بضرب المعادلة الثانية × س

100 س^2 - 5 = 5 س

100 س^2 - 5 س - 5 = صفر

20 س^2 - س - 1 = صفر

( 4 س - 1 ) ( 5 س + 1 ) = صفر

س = 1/4 جنيها ً ==========> 0.25 قرشا ً

[مجدى عبد السلام]

17
اشتري ولد بيضا بمبلغ 5 جنيهات وانكسر منه في الطريق اربع بيضات فزاد بذلك ثمن كل 8 بيضات نصف جنيه علي سعر السوق. فبكم بيضة رجع بها الولد ؟
نفرض ان عدد البيض قبل الكسر = س
سعر البيضة الواحدة = 5 / س
قبل الكسر :
سعر 8 بيضات = 40 / س ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ(1)
بعد الكسر:
سعر 8 بيضات = [ 40 / ( س ــ 4 ) ] + 0.5 ــــــــــــــــــــــــــــــ(2)
من 1& 2
40/ س = 40/ ( س ــ 4) + 0.5
بالضرب في 2 س ( س ـــ 4 )
س^2 ـــ 4 س + 320 = 0
س = 20
عددالبيض قبل الكسر = 20
عددالبيض بعد الكسر = 16
[line]
التحقيق:
قبل الكسر
ثمن البيضة الواحدة = 5 / 20 = 0.25
ثمن 8 بيضات = 8* 0.25 = 2 جنيها
بعد الكسر
ثمن البيضة الواحدة = 5/ 16 = 0.3125
ثمن 8 بيضات = 8*0.3125 = 2.5 جنيها
واضح ان ثمن 8 بيضات بعد الكسر زاد 0.5 جنيها عن قبل الكسر[line]ارجو عرض حلول اخري