تمارين جبر متنوعه للأستاذ/ مجدى عبد السلام

[مجدى عبد السلام]

تمرين رياضى
http://www.al3ez.net/upload/b/fawzy taha_derfgty juikl.jpg

[سامح الدهشان]

اليك حل التمرين أخي الفاضل

تمرين جميل وفكرته بسيطه

[مجدى عبد السلام]

أدخل 20 وسطا حسابيا بين 4 ، 67
[line]
نعتذر عن قبول الحلول المدرسية.

[مجدى عبد السلام]

أثبت أن : حاصل ضرب أي عدد فردي من الحدود المتتالية في أي متوالية هندسية يساوي القوة النونية للحد الأوسط من هذه الحدود ( بفرض أن ن عدد الحدود )

[مجدى عبد السلام]

أدخل 4 أوساط هندسية بين 160 ، 5
[line]
نعتذر عن قبول حلول مدرسية.

[أحمد سعد الدين]

أدخل 4 أوساط هندسية بين 160 ، 5

نفرض أن المتتابعة الهندسية هى :

أ ، أ*ر ، أ*ر^2 ، أ*ر^3 ، أ*ر^4 ، أ*ر^5

حيث أ = 5 ، أ*ر^5 = 160

إذن ر^5 = 160 ÷ 5 = 32
ر = 2

الأوساط الهندسية هى :

أ*ر = 5 × 2 = 10
أ*ر^2 = 5 × (2)^2 = 20
أ*ر^3 = 5 × (2)^3 = 40
أ*ر^4 = 5 × (2)^4 = 80


تنويه :

لم أعرف ما المقصود بعبارة
نعتذر عن قبول حلول مدرسية.

[مها خالد]

أتوقع أن المقصود
هو الحلول التي ياتي بها الطلاب بشكل سريع

دون تطبيق قوانين المتتالية الهندسية او الحسابية

يستنتجها استنتاجا
مارايك استاذي أحمد
أنا اعطي الطالب درجة كاملة
لان السؤال لو ورد في الامتحان ولم يذكر
باستخدام قوانين المتتابعة الحسابية او الهندسية
تلك المشكلة التي نواجهها
دوما
على فكرة انا احب ان اعلم طلابي على الطرق السريعة
وأكيد على الطرق التي تعتمد على القانون

[أحمد سعد الدين]

أدخل 20 وسطا حسابيا بين 4 ، 67


نفرض أن المتتابعة الحسابية هى :

أ ، أ + د ، أ + 2 د ، .... ، أ + (ن - 1)* د
حيث ن = 20 + 2 = 22 حدا
أ = 4
ل = الحد الأخير = 4 + (22 - 1)* د = 4 + 21 د

67 = 4 + 21 د ... ... ... ... د = 3

الأوساط الحسابية هى :

أ + د = 7
أ + 2 د = 10
...

أ + ( ن - 2)* د = 4 + (22 - 2)* 3 = 64

[زهرة العز]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
معذرة معلمي الفاضل ماذا يعني :
نعتذر عن قبول الحلول المدرسية.

....
هل تسمح لي بحكم عشقي للمتاليات الحسابية بشكل خاص بأن اضع حلي هنا .
عدد الحدود : 2+20 = 22
الحد 22= 67
الحد الاول =4
الحد العام : ح ن= أ + ( ن- 1 ) د
حيث ن يعبر عن عدد الحدود , أ الحد الاول , د الاساس .
إذن : الحد 22= 4+ ( 22-1) د
67= 4+21د
21د = 63
د=3
ستكون المتتالية :
4 , 7 , 10 , 13 , 16 , 19 , 22 , 25 , 28 , 31 , 34 , 37 , 40 , 43 , 46 , 49 , 52 , 55 , 58 , 61 , 64 , 67


وشكرا .

[مجدى عبد السلام]

بفرض أن : أ ، ب هما الكميتان المعلومتان ، ن عدد الأوساط فإن:
ر = ( ب / أ ) ^ ( 1 / ن + 1 )
فيكون الأساس : ر = ( 5 /160 )^ ( 1/ 4 +1) = ( 5/160 )^ ( 1/5 ) = 1/2
فالأوساط المطلوبة 80 ، 40 ، 20 ، 10
تقبلوا تحياتى..

[مجدى عبد السلام]

بفرض أن الكميتين هما أ ، ب .. ن عدد الأوساط
فيكون اساس الحسابية : ء = ( ب ــ أ ) / ( ن + 1 )
اذن
ء = (67 ــ 4 ) / ( 21 ) = 3
الأوساط هي : 7 ، 10 ، 13 ، .......................،58 ، 61 ، 64
تقبلوا تحياتي...

[مجدى عبد السلام]

مساء الخير أستاذ / أحمد
نعم هذا قانون 100%
واليك الاثبات:
ب هو الحد الذي ترتيبه ن + 2
اذن .. ب = أ * ر^ (ن+ 1)
ر^( ن + 1 ) = ب / أ
اذن
ر = ( ب / أ ) ^ ( 1 ÷ ن + 1 )

[الزواوى]

حاصل ضرب أي عدد فردي من الحدود المتتالية في أي متوالية هندسية يساوي القوة النونية للحد الأوسط من هذه الحدود ( بفرض أن ن عدد الحدود )
الحل :
بفرض ن عدد فردى
المتتابعه ( أ ، أ ر، أ ر^2 ،0000 ، أ ر^(ن-1) ) عدد الحدود ن فردى
حاصل الضرب = أ ×أ ر× أ ر^2 ×0000000× أ ر^(ن-1)
= أ^ ن × ر^ [ 1+2+3+000+(ن-1)] قوى (ر) متتابعه حسابيه
= أ^ن × ر^ [ ن(ن-1) /2 ] ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ(1) بعد جمع القوى
رتبه الحد الاوسط = ن+1/2
(الحد الاوسط )^ن = [ أ × ر^ (رتبة الحد -1)]^ن
= أ^ن × ر^ [ ن (ن-1) /2] ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ(2)
من (1) ن 02) ينتج المطلوب
شكرا استاذى العزيز مجدى على كم المواضيع والتمارين الجميله التى تمتعنا بها
بارك الله فيك

[مجدى عبد السلام]

هل فكرت يوما في إيجاد مقدار ( ر ) الذي يجعل [ ن ق ر ] أكبر ما يمكن ؟

[مها خالد]

عندما ر= ن/2 او (ن+1) /2

فعندما يكون ن زوجيا فان القيمة ن/2 عدد صحيح

اما عندما ن فرديا نضيف للعدد 1 ثم نأخذ (ن+1) /2

ونحن نعلم ان ن ق ر = ن ق (ن-ر)


وعندها يكون ن ق ر أكبر مايمكن

[مها خالد]

ن ق ر يقصد بها توافيقCombination
ن ق ر اختيار ر عنصر من مجموعة فيها ن عنصر وكل اختيار يسمى توفيقة
ويرمز لعدد التوفيقات بالرمز ن ق ر
ولها رمز اخر من الصعب كتابتهnCr

[مجدى عبد السلام]

نقول من حيث إن:
ن ق ر = [(ن) ق (ر ــ 1 ) ]* ( ن ــ ر + 1 ) / ر
ويمكن وضع العامل الأخير وهو ( ن ــ ر + 1 ) / ر بالصورة [( ن + 1 ) / ر ] ــ 1
وهو وضع يظهر منه أن قيمة هذا العامل تضغر كلما كبرت قيمة ر فإذا أخذت ر القيم 1 ، 2 ، 3 ، ......علي التوالي زادت ن ق ر زيادة مطردة الي أن يصير المقدار [ ( ن + 1 ) / ر ] ــ 1
مساويا للواحد أو اقل منه.
ولكن [ ( ن + 1 ) / ر ] ــ 1 > 1
عندما ( ن + 1 ) / ر > 2
أي ما دامت ( ن + 1 ) / 2 > ر
فبحث أذن عن أكبر قيمة للمقدار ر تصح معها المتباينة ولذلك نفرض أن
[line]
( 1 ) ن عدد زوجي يساوي 2 م
( ن + 1 ) / 2 = ( 2 م + 1 ) / 2 = م + ( 1/2 )
وكل قيمة للمقدار ر لغاية م [ وفيها م أيضا ] تجل المقدار ( ن + 1 ) / 2 اكبر من ر
فعلي ذلك أذا وضعنا ر = م = ن / 2 نجد أن أكبر عدد للتوافيق الممكنة هو ن ق ( ن / 2 )
[line]
( 2 ) ن عدد فردي يساوي 2 م + 1
( ن +1 ) /2 = ( 2 م + 2 ) / 2 = م + 1
وكل قيمة للمقدار ر لغاية م [ وفيها م أيضا ] تجعل المقدار ( ن + 1 ) / 2 أكبر من ر
ولكن حينما تكون ر = م + 1 يصير العامل [( ن + 1 ) / ر ] ـــ 1 مساويا الواحد وتصير
ن ق ( م + 1 ) = ن ق م
أي ن ق ( ن + 1 ) /2 = ن ق ( ن ــ 1 ) /2
وحينئذ يكون عدد التوافيق أكبر ما يمكن حينما تؤخذ الأشياء المعلومة ( ن + 1 ) / 2 أو ( ن ــ 1 ) /2 في كل مرة لأن النتيجة واحدة في الحالتين.

[مجدى عبد السلام]

ما هو أكبر حد في مفكوك ( 1+4 س)^8 إذا كانت س= 1/3 بدون فك ..........................

[مها خالد]

ما هو أكبر حد في مفكوك ( 1+4 س)^8 إذا كانت س= 1/3 بدون فك ..........................
استاذ مجدي:
الحد الخامس الاوسط= 8 قاف 4 (4س)^4=70*(1/3^4)=70/81

[تلميذ]

.


أكبر حد في مفكوك ( 1+4 س)^8 إذا كانت س= 1/3
هو : 56×(4/3)^5 = 344 57/243

لكن الإشكالية المطروحة هي في ايجاد هذه القيمة دون تفكيك ....!!



.

[مجدى عبد السلام]

هل يمكن طرح سؤال ينص علي :
ايهما اكبر 2ت أو 3ت وهل يمكن ترتيبهما علي خط الأعداد.؟

[تلميذ]

إذا رجعنا لكتاب الرياضيات فإننا نجد ملاحظات حول علاقة الترتيب في مجموعة الأعداد العقدية ..

فلا داعي لتعريف علاقة ترتيب في مجموعة الأعداد العقدية ، وكذلك مفهوم عدد عقدي موجب أو سالب
حيث لا يمكن استعمال هذه العلاقة في الحسابات ، لعدم انسجامها مع عمليات الجمع و الضرب ..
مثلا : ت² = -1 و ت² موجب !!

أما في ما يخص التمثيل الهندسي للأعداد العقدية فيمكننا أن نربط كل عدد عقدي س + ت.ص بنقطة
م إحداثياتها (س;ص) في مَعْلم متعامد ممنظم .


يمكن لأساتذنا الكرام الشّرح أكثر حتى تتضح الرؤية ...

[مجدى الصفتى]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الأعداد المركبة تمثل فى مستوى أرجاند " نسبة للعالم جان روبرت أرجاند " وهو مستوى إحداثيات متعامدة وفيه محورين متعامدين ، أحدهما المحور الأفقى يمثل الجزء الحقيقى من العدد المركب بينما المحور الرأسى يمثل الجزء التخيلى ، وحيث أن العددان 2 ت ، 3 ت تخيليان فإنهما يمثلان على المحور الرأسى بنقطتين ، وإذا اعتبرنا أن المحور الرأسى خطاً للأعداد التخيلية فإن النقطة التى تمثل العدد 2 ت أسفل النقطة التى تمثل العدد 3 ت بوحدة طولية ويمكن المقارنة بينهما بمقارنة المعاملات ، أما المقارنة بينهما من حيث أيهما أكبر فإنه بمفهوم الأعداد الحقيقية إذا كان س > ص فإن س - ص > 0 وهذا لا ينطبق على ( 3 ت - 2 ت ) حيث ناتج الطرح يساوى العدد التخيلى ت الذى لا يمكن مقارنته بالصفر من حيث أكبر أو أصغر إلا إذا اعتبرنا أن العدد 0 هو عدد مركب يمثل بنقطة تقاطع محورى مستوى أرجاند وهى نقطة تقع على المحور الرأسى أسفل كل من النقطتين اللتين تمثلان العددين 2 ت ، 3 ت .

[سامح الدهشان]

كل الشكر للجميع

بالفعل علاقة الترتيب لها أهميتها في حقل الأعداد الحقيقية

ولكن ليس للترتيب أي أهمية في حقل الأعداد المركبة ( العقدية )

وبالتالي لانستطيع المقارنة بين عددين عقديين من حيث الأكبر أو الأصغر



بينما في الجمع نتبع تعريف معين

( أ ، ب ) + ( س ، ص ) = ( أ+ س ، ب + ص )

في الطرح كذلك

بينما في الضرب : ت × ت = ( 0 ، 1 ) × ( 0 ، 1 ) = - 1

ومن هنا توصلنا الي أن ت^2 = - 1

بينما في قسمة الأعداد العقدية نستخدم مفهوم المرافق العقدي

[مجدى الصفتى]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
http://www.al3ez.net/upload/b/emam_e062.JPG

[مجدى عبد السلام]

لمعرفة أكبر حد في مفكوك ( س + أ )^ن نقول
علمنا أن ( س + أ )^ن = ( س^ن)( 1 + أ/ س)^ن
ولكون س^ن مضروبة في كل حد من حدود مفكوك ( 1+ أ / س)^ن يكفي إذن معرفة أكبر حد في هذا المفكوك الأخير.
نفرض ان الحد الذي ترتيبه ر والحد الذي ترتيبه ( ر + 1 ) أي حدين متتاليين
وقد تقدم أن الحد الذي ترتيبه ( ر + 1 ) ينتج من ضرب الحد الذي ترتيبه ر في ( ن ــ ر + 1)/ر في ( أ / س) أي في { [ ( ن + 1 )/ ر] ــ 1 }* ( أ / س)
ولكون العامل [{ ( ن + 1 )/ ر} ــ 1 ] يصغر كلما كبر مقدار ر ينتج أن الحد الذي ترتيبه ( ر + 1 )
لا يكون دائما أكبر من سابقه الذي ترتيبه ر و إنما يكون أكبر منه ما دام المقدار { ( [ ن + 1]/ ر) ــ 1 }*( أ / س) لا يساوي الوحدة وليس بأقل منها.
ولكن{ [ ( ن + 1 )/ ر] ــ 1 }* ( أ / س) > 1 ما دامت( ( ن + 1) / ر ) ــ 1 > ( س / أ )
أي ما دامت ( ن + 1 )/ ر > ( س / أ ) + 1
أو { [ ( ن + 1 )* أ] / [ س + أ ] } > ر ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ(1)
فإن كانت [ ( ن + 1 )* أ] / [ س + أ ] عددا صحيحا نرمز لها بالحرف ط فإذا كانت ر = ط
فإن العامل [( ن ــ ر + 1 )/ ر]* ( أ / س) يصير مساويا للوحدة وبذلك يصير الحد الذي ترتيبه ( ط + 1 )مساويا للحد الذي ترتيبه ط ويكون كل منهما أكبر من أي عامل آخر.
وإذا لم تكن [ ( ن + 1 ) أ / ( س + أ ) ] عددا صحيحا بل عددا كسريا نرمز للجزء الصحيح منه بالحرف ق فأكبر قيمة للحرف ر تصح بها المتباينة ( 1 ) هي حينئذ ق. أي أن الحد الذي ترتيبه ( ق + 1 )هو أكبر حد.
ولكون المطلوب هو لإيجاد الحد الأكبر من جهة العدد يمكن أذن أتباع البحث المتقدم فيما لو كان المعلوم ( س ــ أ )^ن فلا يهم مطلقا في أي مثال عددي مراعاة أشارة الحد الثاني من ذات الحدين.
[line]
[line]
نعود للتمرين :
ح......= ( 8 ــ ر + 1 )/ ر في 4 س في ح
ر+ 1 .............................................ر
........= ( 9 ــ ر ) / ر في ( 4/3) في ح ر
أذن
ح.......> ح
ر+1........ر
ما دامت
( 9 ــ ر ) / ر في ( 4/3) > 1
أي ما دامت 36 ــ 4 ر > 3 ر
أو 36 > 7 ر
ومن حيث أكبر قيمة للحرف ر تصح بها المتباينة الاخيرة هي 5
فأكبر الحدود هو الحد السادس وقيمته = 8 ق 5 في ( 4/3)^5 = 57344/243

[مجدى الصفتى]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
استدراك واجب
تعديل الإجابة السابقة حيث أنى كتبت أن رتبة أكبر حد هى n+1 أى الحد السادس ولكنى كتبت خطأ الحد الخامس ، وهاهو الاستدراك :
http://www.al3ez.net/upload/b/essafty_9999999999[1].jpg

[مجدى عبد السلام]

أكتب مفكوك:
م + ن
... .. ق
........ ن
ومن ثم أثبت أن : 12! يقبل القسمة علي 7! * 5!

[سامح الدهشان]

أكتب مفكوك:
م + ن
... .. ق
........ ن
ومن ثم أثبت أن : 12! يقبل القسمة علي 7! * 5!

م+ ن قاف ن = م + ن قاف م

= ( م + ن )! / ( م ! × ن ! ) الناتج دائما عدد صحيح موجب

( 7 + 5 ) قاف 5 = ( 7 + 5 ) قاف 7

( 7 + 5 ) ! / ( 7 ! × 5 ! )

= 12 ! / ( 7 ! × 5 ! ) عددا ينتمي لـ ص الموجبة

أذن البسط يقبل القسمة علي المقام

12 ! يقبل القسمة علي ( 5 ! × 7 ! )

[اسامه جابر]

= ( م + ن )! / ( م ! × ن ! ) الناتج دائما عدد صحيح موجب



الحتة دي عايزة توضيح شوية
ليه لازم يكون الناتج عدد صحيح

[امام مسلم]

بعد إثراء هذه المناقشه الجميله من الأحباب
سأكتب حلين لإثبات أن 12! يقبل القسمه على 5!×7!
شكر الله لكم على هذه المتعه فى المناقشات الثريه

[سامح الدهشان]

( م + ن )! / ( م ! × ن ! ) الناتج دائما عدد صحيح موجب



الحتة دي عايزة توضيح شوية
ليه لازم يكون الناتج عدد صحيح

الحبيب الغالي : أسامه جابر

من المعروف أن التوافيق تعبر عن عدد المجموعات الجزئية

التي تحتوي علي راء من العناصر وأي عدد ناتج دأئما عدد صحيح موجب

هل يوجد ناتج توافيق = صفر ؟

مثال : س = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 }

عدد المجموعات الجزئية المكونة من عنصرين والتي يمكن أختيارهما من س

= 4 قاف 2 = ( 4 × 3 ) ÷ ( 2 × 1 ) = 6 مجموعات جزئية

ولكن هناك فرق بين قسمة توفقتين : 5 قاف 3 / 7 قاف2

ولكن ناتج كل ( توفيقة ) علي حدا ً = عدد صحيح موجب

[مجدى عبد السلام]

أوجد مجموع عشرة حدود من المتواليه:
1 + ( 3 ÷ 4 ) + ( 4 ÷ 8 ) + ( 5 ÷ 16 ) +......................................

[مجدى عبد السلام]

نصيحة لاتحاول حلها الابعد ان تحل التمرين علي الرابط:
http://www.al3ez.net/vb/showthread.php?t=25048

[اسامه جابر]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

http://www.al3ez.net/upload/b/osamagaber_168.jpg

[مجدى عبد السلام]

هل نضع ن = 10 ام 11
ان كانت ن = 10 المجموع = 2.9765
ن = 11 المجموع = 2.987304688