تمارين علي أصفار الدالة و المعادلات في متغيرين

[يسري عطية ( أبو رامي )]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
سؤال خفيف علي الماشي
ايهما اكبر الجذرالتربيعى ل 7 ام الجذر التكعيبى ل 19
طبعا المطلوب الحل رياضيا وليس الجواب فقط

[امام مسلم]

سهرتك صباحى يا أبو رامى
بفرض أن جذر 7 = أ ، الجذر التكعيبى للعدد 19 = ب
أ^2 = 7 ، ب^3 = 19
بتكعيب طرفى الأولى وتربيع طرفى الثانيه
أ^6 = 343 ، ب^6 = 361
إذاً ب^6 > أ^6
إذاً ب > أ
إذاً الجذر التكعيبى للعدد 19 > الجذر التربيعى للعدد 7
شكراً على أسألتك التى تحرك العقل الراكد

[سامح الدهشان]

نهارك سعيد الجذر التربيعي لـــ7 = الجذر السادس ( 343 )

الجذر التكعيبي لــ ( 19 ) = الجذر السادس لــ ( 361 )

أذن الثاني أكبر من الأول

[مجدى عبد السلام]

العدد الاول = 7^(1 /2)
العدد الثانى =19^(1/ 3)
باخذ لوغاريتم كل منهما : (1/2 ) لو7 = xxxx,. على 2 (لاحظ ان العدد البيانى = صفر )
: (1/3) لو 19 = xxxx,ا على 3 (لاحظ ان العدد البيانى = 1 )
بتوحيد المقامات للمقارنه نجد ان :
xxxx,. فى 3 اصغر من xxxx,ا فى 2
اذن العدد الثانى اكبر من العدد الاول
لاحظ عدم استخدام الحاسبه او الجداول الرياضية ولكن اعتمدت على الجزء الصحيح من العدد والذى يسمى بالعدد البيانى.

[يسري عطية ( أبو رامي )]

اذا فرضنا ان رقم الاحاد في عدد ما هو س و رقم العشرات فيه هو ص و كان رقم الاحاد=1/3 رقم العشرات مطروحا منه واحد
و اذا عكس وضع الرقمين كان العدد الناتج يقل عن نصف العدد الاصلي بمقدار 17 فما العدد؟
(ملاحظة:يمكن حل المسالة بطريقتي الحذف و التعويض)
و ارجو وضع طريقة الحل

[يسري عطية ( أبو رامي )]

دوال الكسور الجبرية
أوجد أصفار الدالة :

1) د ( س ) = س2 ــ 16

2) د ( س ) = ــ13

3) د ( س ) = ( س ــ 1 ) / س ( س ــ 3 )

4) د ( س ) = س2 + 1

5) د ( س ) = ( س3 ــ 8 ) / ( س2 + 4 )

6) د ( س ) = س ( س ــ 1 ) ( س2 + 1 )

أوجد مجال الدالة :

1) د ( س ) = 5 / س

2) د ( س ) = ( س ــ 2 ) / ( س2 + 9 )

3) د ( س ) = ( س3 ــ 8 ) / 4

أوجد المجال المشترك لكل من الدالتين :

1) د ( س ) = ( س + 1 ) ( س2 + 4 ) ، ( س2 + 3 ) / 4

2) د ( س ) = س / (س + 1 ) ، ( س ــ 2 ) / س

3) د ( س ) = 1/ س ، ( 3 س ــ1 ) / س ( س ــ 1 )

* إذا كان مجال الدالة د ( س ) = ( س + 5 ) / ( س ــ أ ) هو ح ــ { ــ 2 } . أوجد :

قيمة أ ؟ هل د ( س ) لها معكوس ضربي ؟
* إذا كان مجال الدالة د حيث د ( س ) = (س + ب ) / ( س + أ ) هو ح ــ { ــ 2 } ،
د ( 0 ) = 3 . فأوجد قيمة أ ، ب ؟

* أثبت أن ن++1 ( س ) = ن2 ( س ) حيث أن :

ن1 ( س ) = ( س ــ 1 ) / ( س2 ــ 4 س + 3 )

ن2 ( س ) = ( س ــ 2 ) / ( س2 ــ 5 س + 6 )

* إذا كان ن1 ( س ) = ( س2 + 2 س ــ 3 ) / ( س2 + 5 س + 6 ) ،

ن2 ( س ) = ( س2 ــ 3 س + 2 ) / ( س2 ــ 4 ) . هل ن1 = ن2 ؟

* أوجد مجال المعكوس الضربي للدالة د ( س ) = 5 س / ( س ــ 8 ) .

* أوجد مجال المعكوس الجمعي للدالة د ( س ) = 5 / ( س2 ــ 1 ) .

* إذا كان د ( س ) = ( س2 ـــ 1 ) / ( س2 ــ 5 س + 6 )

1) متي تكون د ( س ) ليس لها معني ؟

2) متي تكون د ( س ) = صفر ؟

3) أوجد مجال د-1 ( س) .

[يسري عطية ( أبو رامي )]

حل معادلتين في متغيرين احداهما من الأولي و الآخري من الثانية

1) س + ص = 5 ، س2 + ص2 = 13

2) س + ص = 7 ، س2 + ص2 ــ س ص = 19

3) س + 2ص = 5 ، س2 ــ س ص + ص2 = 3

4) ص = 3 + س ، س2 + ص2 = 17

5) س + ص = 3 ، س ص ــ 2 = 0

6) س ــ 3 ص ــ 1 = 0 ، س2 ــ 2 س ص + 9 ص2 = 17

7) 2 س ــ 3 ص = 0 ، س ص = 54

8) مستطيل طوله س و عرضه ص و مساحته 77 سم2 ، إذا نقص طوله بمقدار 2 سم، زاد عرضه بمقدار 2سم لأصبح مربع . أوجـــد بعدي المستطيل ؟

9) عددان مجموعهما الواحد الصحيح ، و مجموع مربعيهما 41 فما هما العددان ؟

10 ) عددان مجموعهما 8 و حاصل ضربهما 12 فما هما العددان ؟

[اقليدس العرب]

1) س + ص = 5 ، س2 + ص2 = 13

بسم الله الرحمن الرحيم

س + ص = 5 ====> س^2 + ص^2 + 2 س ص = 25

س^2 + ص^2 = 13

أذن 2 س ص = 12 ===========> س ص = 6

إذن النظام المعطي يكافئ النظام : س + ص = 5 ، س ص = 6

وبالتالي نحصل علي معادلة من الدرجة الثانية في متغير وأحد

س^2 - 5 س + 6 = صفر

ومنها ( س - 3 ) ( س - 2 ) = صفر

=======> س = 3 أو س = 2 ====> ص = 2 أو ص = 3

مجموعة الحل = { ( 3 ، 2 ) ، ( 2 ، 3 ) }

[سامح الدهشان]

2) س + ص = 7 ، س2 + ص2 ــ س ص = 19

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

من المعادلة رقم ( 1 ) : س + ص = 7 بتربيع الطرفين

س^2 + ص^2 + 2 س ص = 49

س^2 + ص^2 - س ص = 19 ( معطي ) بالطرح


3 س ص = 30 أذن س ص = 10

من المعادلة الأولي : س + ص = 7 بالضرب × س

س^2 + س ص = 7 س ====> س^2 - 7 س + 10 = صفر

بالتحليل أذن : ( س - 5 ) ( س - 2 ) = صفر ومن ذلك س = 5 أو س = 2

وبالتالي قيم ص المناظرة هي ص = 2 أو ص = 5

مجموعة الحل = { ( 5 ، 2 ) ، ( 2 ، 5 ) }

[أحمد سعد الدين]

2) س + ص = 7 ، س2 + ص2 ــ س ص = 19

نفس طريقة الحل للأستاذ اقليدس العرب ، ينتج أن :

مجموعة الحل : ( 2 ، 5 ) ، ( 5 ، 2 )



3) س + 2ص = 5 ، س2 ــ س ص + ص2 = 3

س + 2 ص = 5 ـــــ> س = 5 - 2 ص
بالتعويض عن قيمة س بدلالة ص فى المعادلة : س^2 - س ص + ص^2 = 3
ينتج أن :
7 ص^2 - 25 ص + 22 = 0
( ص - 2 ) ( 7 ص - 11 ) = 0
إذن :
ص = 2 ، ومنها : س = 5 - 2 × 2 = 1
ص = 11 / 7 ، ومنها : س = 13 / 7
وتكون مجموعة الحل : ( 1 ، 2 ) ، ( 13 / 7 ، 11 / 7 )



4) ص = 3 + س ، س2 + ص2 = 17

ص = 3 + س .............................. (1)
س^2 + ص^2 = 17 ......................... (2)
بالتعويض عن قيمة ص بدلالة س من (1) فى (2)
ينتج أن :
س^2 + 3 س - 4 = 0
( س - 1 ) ( س + 4 ) = 0
إذن :
س = 1 ــــــــ> ص = 4
س = - 4 ـــــــ> ص = - 1
مجموعة الحل : ( 1 ، 4 ) ، ( - 4 ، - 1 )



5) س + ص = 3 ، س ص ــ 2 = 0

س + ص = 3
س ص - 2 = 0 ـــــ> س = 2 / ص
إذن :
2 / ص + ص = 3
ومنها : ص^2 - 3 ص + 2 = 0
( ص - 1 ) ( ص - 2 ) = 0
ص = 1 ، ومنها : س = 2
ص = 2 ، ومنها : س = 1
مجموعة الحل : ( 1 ، 2 ) ، ( 2 ، 1 )



6) س ــ 3 ص ــ 1 = 0 ، س2 ــ 2 س ص + 9 ص2 = 17

س - 3 ص - 1 = 0 ـــــ> ( س - 3 ص )^2 = 1
س^2 - 6 س ص + 9 ص^2 = 1
س^2 + 9 ص^2 = 6 س ص + 1 ..................... (1)
وحيث : س^2 - 2 س ص + 9 ص^2 = 17
ومنها : س^2 + 9 ص^2 = 2 س ص + 17 ............ (2)
من (1) ، (2)
س ص = 4 ـــــ> س = 4 / ص
إذن :
4 / ص - 3 ص - 1 = 0
3 ص^2 + ص - 4 = 0
( ص - 1 ) ( 3 ص - 4 ) = 0
ص = 1 ، ومنها : س = 4
ص = - 4 / 3 ، ومنها : س = - 3
مجموعة الحل : ( 4 ، 1 ) ، ( - 3 ، - 4 / 3 )



7) 2 س ــ 3 ص = 0 ، س ص = 54

2 س - 3 ص = 0 ـــــــ> س = 3 ص / 2
إذن :
( 3 ص / 2 ) × ص = 54 ـــــــــــ> ص^2 = 36
وتكون :
ص = 6 ، ومنها : س = 9
ص = - 6 ، ومنها : س = - 9
مجموعة الحل : ( 9 ، 6 ) ، ( - 9 ، - 6 )

[أحمد سعد الدين]

8) مستطيل طوله س و عرضه ص و مساحته 77 سم2 ، إذا نقص طوله بمقدار 2 سم، زاد عرضه بمقدار 2سم لأصبح مربع . أوجـــد بعدي المستطيل ؟

مساحة المستطيل = الطول × العرض
س ص = 77 .............................. (1)
المربع أبعاده متطابقة
إذن :
( س - 2 ) = ( ص + 2 )
س = ص + 4 .............................. (2)
من (1) ، (2)
( ص + 4 ) × ص = 77
ص^2 + 4 ص - 77 = 0
( ص - 7 ) ( ص + 11 ) = 0
ص = 7 ، ومنها : س = 11
ص = - 11 ، مرفوض للقيمة السالبة
ويكون :
بعدى المستطيل : 11 ، 7

[أحمد سعد الدين]

9) عددان مجموعهما الواحد الصحيح ، و مجموع مربعيهما 41 فما هما العددان ؟

نفرض أن العددين هما : س ، ص
إذن :
س + ص = 1 ــــ> ( س + ص )^2 = 1
س^2 + ص^2 + 2 س ص = 1
وحيث :
س^2 + ص^2 = 41
فيكون :
41 + 2 س ص = 1 ـــــ> س ص = - 20
بالتعويض عن قيمة س = 1 - ص
( 1 - ص ) × ص = - 20
ص^2 - ص - 20 = 0
( ص - 5 ) ( ص + 4 ) = 0
ص = 5 ـــــــ> س = - 4
أو
ص = - 4 ــــــ> س = 5

العددان هما : - 4 ، 5

[أحمد سعد الدين]

10 ) عددان مجموعهما 8 و حاصل ضربهما 12 فما هما العددان ؟


نفرض أن العددين هما : س ، ص
س + ص = 8
س ص = 12

بنفس الطرق السابقة بالتعويض عن قيمة متغير بدلالة الآخر
س = 8 - ص
( 8 - ص ) × ص = 12
ص^2 - 8 ص + 12 = 0
( ص - 2 ) ( ص - 6 ) = 0
ص = 2 ــــــــــــ> س = 6
ص = 6 ــــــــــــ> س = 2
ويكون العددين هما : 2 ، 6

[سامح الدهشان]

عددان مجموعهما 8 و حاصل ضربهما 12 فما هما العددان ؟

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

نفرض العددان همــــــــــا س ، ص

س + ص = 8

س ص = 12

بضرب المعادلة الأولي × س

س^2 + س ص = 8 س

س^2 - 8 س + 12 = صفر

( س - 2 ) ( س - 6 ) = صفر

س = 2 ومنها ص = 6

س = 6 ومنها ص = 2

[سامح الدهشان]

7) 2 س ــ 3 ص = 0 ، س ص = 54

2 س - 3 ص = 0

==> 2 س - 2 ص = ص

==> ( س - ص ) = ص / 2 ================> ( 1 )

==> 2 س - 3 ص = 0

==> 2 س + 2 ص = 5 ص

==> ( س + ص ) = 5 / 2 × ص ===========> ( 2 )

بما أن ( س + ص )^2 - ( س - ص )^2 = 4 س ص

أذن : 25 ص^2 / 4 - ص^2 / 4 = 4 × 54

24 ص^2 = 16 × 54 ====> ص^2 = 36

ومنها ص = 6 أو ص = - 6 أذن س = 9 أو س = - 9

[سامح الدهشان]

3) س + 2ص = 5 ، س2 ــ س ص + ص2 = 3

من المعادلة الأولي : س + ص = 5 - ص

من المعادلة الثانية : ( س + ص )^2 - 3 س ص = 3

==> ( 5 - ص )^2 - 3 ص ( 5 - 2 ص ) = 3

==> 25 - 10 ص + ص^2 - 15 ص + 6 ص^2 = 3

==> 7 ص^2 - 25 ص + 22 = صفر

==> ( 7 ص - 11 ) ( ص - 2 ) = صفر

ص = 11 / 7 أو ص = 2 ثم نعوض لإيجاد س

[سامح الدهشان]

9) عددان مجموعهما الواحد الصحيح ، و مجموع مربعيهما 41 فما هما العددان ؟

نفرض العددان هما س ، ص بحيث

س + ص = 1 ============> ( 1 )

س^2 + ص^2 = 41

( س+ ص)^2 - 2 س ص = 41

- 2 س ص = 40

س ص = - 20

س^2 + س ص = س

س^2 - س - 20 = صفر

( س - 5 ) ( س + 4 ) = صفر

س = 5 وبالتالي ص = - 4

س = - 4 وبالتالي ص = 5

[سامح الدهشان]

د ( س ) = س2 ــ 16

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

أصفار الدالة : هي قيم المتغير التي تشتمل عليه الدالة وتكون قيمة الدالة عنده = صفر

وللحصول علي الأصفار نتجه دأئما الي التحليل الإ في الحالات الخاصه

س^2 - 16 = صفر

( س - 4 ) ( س + 4 ) = صفر

س = 4 أو س = - 4

مجموعة الأصفار = { 4 ، - 4 }

[سامح الدهشان]

د ( س ) = ــ13

دالة ثابته لاتوجد قيمة حقيقية تجعلها = صفر

مجموعة الاصفار = { }



د ( س ) = ( س ــ 1 ) / س ( س ــ 3 )

دالة كسرية أو نسبية معرفة لجميع القيم عدا الصفر ، 3

لإيجاد الأصفار نجعل البسط = صفر =========> س - 1 = 0 ===> س = 1


د ( س ) = س2 + 1

دالة تمثل مجموع مربعين وبالتالي لايوجد لها أصفار في ح

مجموعة الأصفار = { }

[سامح الدهشان]

د ( س ) = ( س3 ــ 8 ) / ( س2 + 4 )

دالة كسرية معرفة لجميع الأعداد الحقيقية

س^3 - 8 = صفر ==========> س = 2 جذر حقيقي وحيد



د ( س ) = س ( س ــ 1 ) ( س2 + 1 )

الأصفار : س = 0 أو س = 1

[يسري عطية ( أبو رامي )]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
شكرا أخي الحبيب أبو أحمد
وبالنسبة لأصفار الدالة الكسرية تساوي( مجموعة أصفار البسط ) فرق ( مجموعة أصفار المقام ) هكذا يدرسها الطالب

[يسري عطية ( أبو رامي )]

1) د ( س ) = 5 / س
المجال = ح - { 0}


2) د ( س ) = ( س ــ 2 ) / ( س2 + 9 )
المجال = ح


3) د ( س ) = ( س3 ــ 8 ) / 4
المجال = ح
أوجد المجال المشترك لكل من الدالتين :

1) د ( س ) = ( س + 1 ) ( س2 + 4 ) ، ( س2 + 3 ) / 4
المجال المشترك = ح
2) د ( س ) = س / (س + 1 ) ، ( س ــ 2 ) / س
ح - { -1 , 0}

3) د ( س ) = 1/ س ، ( 3 س ــ1 ) / س ( س ــ 1 )
ح - { 0, 1}

[اقليدس العرب]

* إذا كان مجال الدالة د ( س ) = ( س + 5 ) / ( س ــ أ ) هو ح ــ { ــ 2 } . أوجد :

قيمة أ ؟ هل د ( س ) لها معكوس ضربي ؟

بسم الله الرحمن الرحيم

مجال الدالة الأصلية = ح - { أ }

المجال المعطي للدالة = ح - { - 2 } أذن أ = - 2

لكي يكون للدالة نظيرا ضربيا ً ينبغي أن يكون المجال = ح - { - 5 ، - 2 }

وبالتالي هذا لايتفق مع المجال المعطي إذن لايوجد نظير ضربي للدالة

[اقليدس العرب]

* إذا كان مجال الدالة د حيث د ( س ) = (س + ب ) / ( س + أ ) هو ح ــ { ــ 2 } ،
د ( 0 ) = 3 . فأوجد قيمة أ ، ب ؟

بسم الله الرحمن الرحيم

مجال الدالة = ح - { - أ }

المجال المعطي = ح - { - 2 }

أذن أ = 2 وهذا أول مطلوب

علما ً بأن د ( 0 ) = 3 وهذا بالتالي يؤدي الي

3 = ب / أ ===> ب = 3 × 2 = 6 وهذا المطلوب ثانيا ً

[يسري عطية ( أبو رامي )]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
كل الشكر والتقدير لاخي الفاضل الاستاذ أقليدس العرب

أثبت أن ن1 ( س ) = ن2 ( س ) حيث أن :

ن1 ( س ) = ( س ــ 1 ) / ( س2 ــ 4 س + 3 )

ن2 ( س ) = ( س ــ 2 ) / ( س2 ــ 5 س + 6 )
الحل
ن1 ( س ) = ( س ــ 1 ) / ( س ــ 3 ) ( س - 1 )

ن1 ( س ) = ( س ــ 1 ) / ( س ــ 3 ) ( س - 1 )

مجال ن1 = ح - {3, 1 }

مجال ن2 = ح - {3 , 2 }

ن1 ( س ) = 1/ ( س ــ 3 )
ن2 ( س ) = 1/ ( س ــ 3 )

ن1 = ن2 في المجال ح - {3 , 2, 1 }

[اقليدس العرب]

* إذا كان ن1 ( س ) = ( س2 + 2 س ــ 3 ) / ( س2 + 5 س + 6 ) ،

ن2 ( س ) = ( س2 ــ 3 س + 2 ) / ( س2 ــ 4 ) . هل ن1 = ن2 ؟

بسم الله الرحمن الرحيم

متفق عليه أن الكسريين الجبريين يكونا متساويان إذا

1- لهما نفس المجال

2- لهم نفس الصورة بعد التبسيط

ن1 ( س ) = ( س + 3 ) ( س - 1 ) / ( س + 2 ) ( س + 3 )

المجال = ح - { - 2 ، - 3 }

ن 1 ( س ) = ( س - 1 ) / ( س + 2 ) لكل س تنتمي لـ ح - { -2 ، - 3 }


ن2(س ) = ( س - 2 ) ( س - 1 ) / ( س - 2 ) ( س + 2 )

المجال = ح - { 2 ، - 2 }

ن2 ( س ) = ( س - 1 ) / ( س + 2 ) لكل س تنتمي لـ ح - { 2 ، - 2 }

من الواضح أن ن 1 ( س ) = / = ن 2 ( س ) نظرا ً لأختلاف المجال

ولكن يحدث التساوي بينهما إذا كان المجال المشترك لهما ح - { 2 ، - 2 ، - 3 }

[اقليدس العرب]

* أوجد مجال المعكوس الضربي للدالة د ( س ) = 5 س / ( س ــ 8 ) .

بسم الله الرحمن الرحيم

مجال النظير الضربي = ح - { 0 ، 8 }


* أوجد مجال المعكوس الجمعي للدالة د ( س ) = 5 / ( س2 ــ 1 ) .

من المعلوم أن مجال الدالة هو مجال نظيرها الجمعي

مجال النظير الجمعي = ح - { 1 ، - 1 }

[اقليدس العرب]

* إذا كان د ( س ) = ( س2 ـــ 1 ) / ( س2 ــ 5 س + 6 )

1) متي تكون د ( س ) ليس لها معني ؟

2) متي تكون د ( س ) = صفر ؟

3) أوجد مجال د-1 ( س) .

بسم الله الرحمن الرحيم

د ( س ) = ( س - 1 ) ( س + 1 ) / ( س - 2 ) ( س - 3 )

تكون د ( س ) ليس لها معني أو غير معرفه

إذا كانت س = 2 أو س = 3

تكون د ( س ) = صفر إذا كان س = 1 أو س = - 1 بشرط

لكل س تنتمي لـ ح - { 2 ، 3 }

مجال النظير الضربي = ح - { 1 ، - 1 ، 2 ، 3 }


شرفت بصحبتك سيدي المحترم : الأستاذ يسري عطيه

[يسري عطية ( أبو رامي )]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
حماك الله ورعاك أستاذي الفاضل الاستاذ /اقليدس العرب وجزاك الله كل خير

أوجد مجال المعكوس الضربي للدالة د ( س ) = 5 س / ( س ــ 8 ) .
مجال المعكوس الضربي للدالة هو ح - { 0 ، 8 }

* أوجد مجال المعكوس الجمعي للدالة د ( س ) = 5 / ( س2 ــ 1 ) .
مجال المعكوس الجمعي للدالة هو ح - { 1, - 1}