يسري عطية ( أبو رامي )
14-08-2007, 01:57 AM
الحالة الجديدة في تطابق المثلثات
أساس القضية
في الشكل التالي ، إذا كان المثلثان متطابقين اذكر شروط التطابق ، وإلا فاكتب: الشروط غير كافية، والشكل التالي كان من بين الأشكال المطلوب فحصها:
والشكل هو : أ ب جـ د شكل رباعي فيه أ ب = د جـ , ق(ب) = ق( د ) , أ جـ ضلع مشترك
والملاحظ أن الزوايا المتطابقة " ليست محصورة " بين الضلعين ، وهو ما يؤدي - كما سيأتي - إلى الحكم بعدم كفاية الشروط، إذ للإجابة على هذا التساؤل لابد من الرجوع إلى حالات التطابق التي تأخذ بها كل مناهج الدنيا، وهي:
يتطابق المثلثان إذا توافرات فيهما الشروط التالية :
1- إذا طابق ثلاثة أضلاع في المثلث الأول نظائرها في الآخر.
2- إذا طابق ضلعان وزاوية محصورة بينهما في الأول نظائرها في الآخر.
3- إذا طابق في الأول ضلع وزاويتان نظائرها في الآخر.
4- إذا طابق في الأول ضلع ووتر في الثاني ... ( خاصة بالمثلثات القائمة الزاوية).
ومن الطبيعي أن المعطيات الثلاثة في الشكل المطلوب لا تناقش إلا ضمن الحالة الثانية التي تشدد على شرط وجوب حصر الزاوية بين الضلعين الأمر الذي يستحيل معه الحكم بتطابق هذين المثلثين . أما باقي الحالات فمن غير الوارد تدخلها ضمن المعطيات المطروحة ، وإذاً فحالة المثلثين في السؤال المطروح تجابه بفراغ واضح للنظريات القائمة التي أدت إلى خطأ الحكم بعدم كفاية هذه الشروط لبرهان التطابق ، وهو ما أدى بالبشرية جمعاء إلى تقبل ذلك والتسليم به حتى نوفمبر 1999 ، حيث تم نشر الحالة ببرهانين مختلفين في مجلة حصاد الشهر التي صدرت عن معلمي الرياضيات بغزة.
الحالة الجديدة في تطابق المثلثات :
المثلثان أ ب جـ , س ص ع فيهما
أ ب = س ص , أ جـ = س ع , ق(ب) = ق( ص)
والسؤال هو : هل يتطابق المثلثان
ملاحظة : ( كل من زاويتي ب , ص منفرجة )
العمل : نسقط أ هـ عمودياً يقطع امتداد جـ ب في هـ ، كما نسقط س م عمودياً يقطع امتداد ع ص في م .
البرهان: ق( < أ ب هـ ) = ق ( < س ص م ) ... مكملات لزوايا متساوية في القياس.
وذلك كاف لبرهان تطابق المثلثين أ هـ ب ، س م ص بحسب الحالة الثالثة ( ضلع وزاويتان - نظائرها )
نستنتج من ذلك التطابق أن أ هـ = س م ، وهذا الشرط يكمل شروط تطابق المثلثين أ هـ جـ ، س م ع ، بحسب الحالة الرابعة .. (ضلع وقائمة ووتر - نظائرها).
من التطابق الأخير يمكن استنتاج أن ق( < جـ) = ق(< ع) ، وبتوفر هذا الشرط ينتهي السجال بثبوت تطابق المثلثين أ ب جـ ، س ص ع استناداً إلى أحد المخارج التالية:
1- بزاويتين وضلع - نظائرها ، أو:
2- قياس الزاوية الثالثة في الأول = قياس الزاوية الثالثة في الثاني ( وهذا يرجعنا إلى الحالة ضلعين وزاوية محصورة ) ، أو:
3- بطرح هـ ب من هـ جـ ، وبطرح م ص من م ع نستنتج أن ب جـ = ص ع ، وذلك يعود بالبرهان إلى الحالة الأولى ( ثلاثة أضلاع - نظائرها ).
ولكي تكتمل الصورة نورد ما ذهب إليه الزميل / زياد كلاّب في رؤيته لبرهان تطابق المثلثين السابقين، حيث استند إلى ما يعرف بقانون جيب الزاوية
أَ / جا أ = بَ / جا ب = جـَ / جا جـ ، وبالرجوع إلى المثلثين بحسب المعطيات في الشكل، فإن:
جـ / جا ب في المثلث الأول = س ع / جا ص في المثلث الثاني.
وبالطبع فالنسبة الأولى أ جـ / جا ب = أ ب / جا جـ ، فيما النسبة الثانية س ع / جا ص= س ص / جا ع الأمر الذي يقطع بصحة أن أ ب / جا جـ = س ص / جا ع، ومن تطابق القطعتين أ ب ، س ص يكون جا جـ = جا ع ، وكلتاهما حادتان ( والجيب موجب ) ، إذن قياس جـ = قياس ع، وبالتالي يمكن تأويل صحة التطابق حسب مخارج عدة.
ملاحظات
1- يمكن رسم مثلث وحيد بمعلومية ضلعين وزاوية منفرجة غير محصورة وهذا ما جعل التطابق حتميا ولكن يمكن رسم مثلثين مختلقين بمعلومية ضلعين وزاوية حادة غير محصورة الشئ الذي يؤكدعدم كفاية الشروط في حال كون الزواياغيرالمحصورة المعطاة حادة .
2- يعرف قدامى الرياضيين أن معلومية ضلعين وزاوية منفرجة غير محصورة تؤدي الى حل وحيد . ولكن لم يفطن أحدا الى ربط ذلك بتطابق المثلثات
الخلاصة
انطلاقاً من مبدأ الاقتصاد في البناء الرياضي وضرورة الاستقلالية، وطالما أن الحالة الرابعة الخاصة بالمثلث القائم الزاوية وكذلك الحالة الجديدة، هما حالات غير مستقلة، أي بالإمكان البرهنة على صحتهما استناداً إلى النظريات الثلاث الأساسية، فإن التعديل الأنسب لبناء نظرية تطابق مكتملة تكون بالحفاظ على النظريات الثلاث الأساسية وتفريع نتيجتين إحداهما لتغطية الزاوية القائمة (وهي موجودة مسبقاً) وأخرى للزاوية المنفرجة، علماً أن بالإمكان دمج النتيجتين في نتيجة واحدة على النحو التالي:
يتطابق المثلثان إذا طابق في أحدهما ضلعان وزاوية غير محصورة بينهما قياسها أكبر من أو يساوي 90 ْ .. نظائرها في الآخر. وهو ما يغلق الستار على قضية تطابق المثلثات ونتائجها .. مرة وإلى الأبد !!
المناهج المصرية تحدثت عن حالة خامسة في التطابق !
رغم كل ما كتب حول هذه القضية، ورغم الصحة المطلقة للملاحظة، أي حتمية انطباق مثلثين بتطابق ضلعين وزاوية منفرجة غير محصورة من المثلث الأول مع نظائرها في المثلث الآخر، غير أننا اعتقدنا باكتشاف الحالة لأول مرة، ولابد من القول أن ما شجعنا على هذا الاستنتاج هي تكرار الثغرة في المناهج الأمريكية وقد كان ذلك مجازفة أثبت البحث خطأها، فالمناهج الأمريكية ليست نهاية المطاف ليصح الحكم بأن ما صح في بنية المقررات الأمريكية هو بالضرورة مطلق الصحة؛ هذه النقطة، ونقصد التسليم بكل ما جاء في المقررات الأجنبية لم تكن واردة في حسابنا بالمرة، وإن ثقتنا بأنفسنا وبما قدمنا من براهين كانت كافية لاكتشاف الخلل في المقرر الأمريكي، ونعود للتأكيد على أن المجازفة تعلقت فقط بادعائنا أن الحالة تعرف لأول مرة !!
أساس القضية
في الشكل التالي ، إذا كان المثلثان متطابقين اذكر شروط التطابق ، وإلا فاكتب: الشروط غير كافية، والشكل التالي كان من بين الأشكال المطلوب فحصها:
والشكل هو : أ ب جـ د شكل رباعي فيه أ ب = د جـ , ق(ب) = ق( د ) , أ جـ ضلع مشترك
والملاحظ أن الزوايا المتطابقة " ليست محصورة " بين الضلعين ، وهو ما يؤدي - كما سيأتي - إلى الحكم بعدم كفاية الشروط، إذ للإجابة على هذا التساؤل لابد من الرجوع إلى حالات التطابق التي تأخذ بها كل مناهج الدنيا، وهي:
يتطابق المثلثان إذا توافرات فيهما الشروط التالية :
1- إذا طابق ثلاثة أضلاع في المثلث الأول نظائرها في الآخر.
2- إذا طابق ضلعان وزاوية محصورة بينهما في الأول نظائرها في الآخر.
3- إذا طابق في الأول ضلع وزاويتان نظائرها في الآخر.
4- إذا طابق في الأول ضلع ووتر في الثاني ... ( خاصة بالمثلثات القائمة الزاوية).
ومن الطبيعي أن المعطيات الثلاثة في الشكل المطلوب لا تناقش إلا ضمن الحالة الثانية التي تشدد على شرط وجوب حصر الزاوية بين الضلعين الأمر الذي يستحيل معه الحكم بتطابق هذين المثلثين . أما باقي الحالات فمن غير الوارد تدخلها ضمن المعطيات المطروحة ، وإذاً فحالة المثلثين في السؤال المطروح تجابه بفراغ واضح للنظريات القائمة التي أدت إلى خطأ الحكم بعدم كفاية هذه الشروط لبرهان التطابق ، وهو ما أدى بالبشرية جمعاء إلى تقبل ذلك والتسليم به حتى نوفمبر 1999 ، حيث تم نشر الحالة ببرهانين مختلفين في مجلة حصاد الشهر التي صدرت عن معلمي الرياضيات بغزة.
الحالة الجديدة في تطابق المثلثات :
المثلثان أ ب جـ , س ص ع فيهما
أ ب = س ص , أ جـ = س ع , ق(ب) = ق( ص)
والسؤال هو : هل يتطابق المثلثان
ملاحظة : ( كل من زاويتي ب , ص منفرجة )
العمل : نسقط أ هـ عمودياً يقطع امتداد جـ ب في هـ ، كما نسقط س م عمودياً يقطع امتداد ع ص في م .
البرهان: ق( < أ ب هـ ) = ق ( < س ص م ) ... مكملات لزوايا متساوية في القياس.
وذلك كاف لبرهان تطابق المثلثين أ هـ ب ، س م ص بحسب الحالة الثالثة ( ضلع وزاويتان - نظائرها )
نستنتج من ذلك التطابق أن أ هـ = س م ، وهذا الشرط يكمل شروط تطابق المثلثين أ هـ جـ ، س م ع ، بحسب الحالة الرابعة .. (ضلع وقائمة ووتر - نظائرها).
من التطابق الأخير يمكن استنتاج أن ق( < جـ) = ق(< ع) ، وبتوفر هذا الشرط ينتهي السجال بثبوت تطابق المثلثين أ ب جـ ، س ص ع استناداً إلى أحد المخارج التالية:
1- بزاويتين وضلع - نظائرها ، أو:
2- قياس الزاوية الثالثة في الأول = قياس الزاوية الثالثة في الثاني ( وهذا يرجعنا إلى الحالة ضلعين وزاوية محصورة ) ، أو:
3- بطرح هـ ب من هـ جـ ، وبطرح م ص من م ع نستنتج أن ب جـ = ص ع ، وذلك يعود بالبرهان إلى الحالة الأولى ( ثلاثة أضلاع - نظائرها ).
ولكي تكتمل الصورة نورد ما ذهب إليه الزميل / زياد كلاّب في رؤيته لبرهان تطابق المثلثين السابقين، حيث استند إلى ما يعرف بقانون جيب الزاوية
أَ / جا أ = بَ / جا ب = جـَ / جا جـ ، وبالرجوع إلى المثلثين بحسب المعطيات في الشكل، فإن:
جـ / جا ب في المثلث الأول = س ع / جا ص في المثلث الثاني.
وبالطبع فالنسبة الأولى أ جـ / جا ب = أ ب / جا جـ ، فيما النسبة الثانية س ع / جا ص= س ص / جا ع الأمر الذي يقطع بصحة أن أ ب / جا جـ = س ص / جا ع، ومن تطابق القطعتين أ ب ، س ص يكون جا جـ = جا ع ، وكلتاهما حادتان ( والجيب موجب ) ، إذن قياس جـ = قياس ع، وبالتالي يمكن تأويل صحة التطابق حسب مخارج عدة.
ملاحظات
1- يمكن رسم مثلث وحيد بمعلومية ضلعين وزاوية منفرجة غير محصورة وهذا ما جعل التطابق حتميا ولكن يمكن رسم مثلثين مختلقين بمعلومية ضلعين وزاوية حادة غير محصورة الشئ الذي يؤكدعدم كفاية الشروط في حال كون الزواياغيرالمحصورة المعطاة حادة .
2- يعرف قدامى الرياضيين أن معلومية ضلعين وزاوية منفرجة غير محصورة تؤدي الى حل وحيد . ولكن لم يفطن أحدا الى ربط ذلك بتطابق المثلثات
الخلاصة
انطلاقاً من مبدأ الاقتصاد في البناء الرياضي وضرورة الاستقلالية، وطالما أن الحالة الرابعة الخاصة بالمثلث القائم الزاوية وكذلك الحالة الجديدة، هما حالات غير مستقلة، أي بالإمكان البرهنة على صحتهما استناداً إلى النظريات الثلاث الأساسية، فإن التعديل الأنسب لبناء نظرية تطابق مكتملة تكون بالحفاظ على النظريات الثلاث الأساسية وتفريع نتيجتين إحداهما لتغطية الزاوية القائمة (وهي موجودة مسبقاً) وأخرى للزاوية المنفرجة، علماً أن بالإمكان دمج النتيجتين في نتيجة واحدة على النحو التالي:
يتطابق المثلثان إذا طابق في أحدهما ضلعان وزاوية غير محصورة بينهما قياسها أكبر من أو يساوي 90 ْ .. نظائرها في الآخر. وهو ما يغلق الستار على قضية تطابق المثلثات ونتائجها .. مرة وإلى الأبد !!
المناهج المصرية تحدثت عن حالة خامسة في التطابق !
رغم كل ما كتب حول هذه القضية، ورغم الصحة المطلقة للملاحظة، أي حتمية انطباق مثلثين بتطابق ضلعين وزاوية منفرجة غير محصورة من المثلث الأول مع نظائرها في المثلث الآخر، غير أننا اعتقدنا باكتشاف الحالة لأول مرة، ولابد من القول أن ما شجعنا على هذا الاستنتاج هي تكرار الثغرة في المناهج الأمريكية وقد كان ذلك مجازفة أثبت البحث خطأها، فالمناهج الأمريكية ليست نهاية المطاف ليصح الحكم بأن ما صح في بنية المقررات الأمريكية هو بالضرورة مطلق الصحة؛ هذه النقطة، ونقصد التسليم بكل ما جاء في المقررات الأجنبية لم تكن واردة في حسابنا بالمرة، وإن ثقتنا بأنفسنا وبما قدمنا من براهين كانت كافية لاكتشاف الخلل في المقرر الأمريكي، ونعود للتأكيد على أن المجازفة تعلقت فقط بادعائنا أن الحالة تعرف لأول مرة !!